Para uma função derivável f: [a, b] -> R, escreva a fórmula do comprimento da curva L determinado pelo gráfico de f no intervalo [a, b]. Depois determine o comprimento de arco de f(x) = 1/2 x^2 para x in [0, 1/2]. (Obs: devemos fazer uma substituição trigonométrica para resolver a integral).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função f: [a, b] -> R que é diferenciável no intervalo [a, b]. A primeira parte quer que escrevamos a fórmula para o comprimento da curva (ou comprimento de arco) do gráfico dessa função nesse intervalo. A segunda parte pede para calcular esse comprimento de arco para a função específica no intervalo . Para resolver, vamos precisar usar cálculo, especialmente a fórmula do comprimento de arco e uma substituição trigonométrica para resolver a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do comprimento de arco para uma função f contínua e diferenciável no intervalo [a, b]. A fórmula é:
Isso significa que o comprimento da curva é a integral de de a até b.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula para a função específica . Primeiro, precisamos encontrar a derivada dessa função.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Então, nosso próximo passo é resolver essa integral.

Passo 5

Para resolver a integral , vamos usar uma substituição trigonométrica. Isso é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios.

Passo 6

Vamos fazer a substituição . Então, . Substituindo na integral:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:

Passo 7

A integral de é um pouco mais complicada, mas temos uma fórmula para ela:
Então, aplicando essa fórmula, obtemos:

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original x. Lembre-se que fizemos a substituição , então:
Substituindo de volta:

Passo 9

Agora, vamos calcular os limites da integral de 0 a 1/2:
Primeiro, para :
Simplificando:
Agora, para x = 0:

Passo 10

Então, o comprimento da curva é:

Resposta

O comprimento de arco da função no intervalo é:

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