Para uma função derivável , escreva a fórmula do comprimento da curva determinado pelo gráfico de no intervalo . Depois determine o comprimento de arco de para . (Obs: devemos fazer uma substituição trigonométrica para resolver a integral).
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que é diferenciável no intervalo . A primeira parte quer que escrevamos a fórmula para o comprimento da curva (ou comprimento de arco) do gráfico dessa função nesse intervalo. A segunda parte pede para calcular esse comprimento de arco para a função específica no intervalo . Para resolver, vamos precisar usar cálculo, especialmente a fórmula do comprimento de arco e uma substituição trigonométrica para resolver a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do comprimento de arco para uma função contínua e diferenciável no intervalo . A fórmula é:
Isso significa que o comprimento da curva é a integral de de até .
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para a função específica . Primeiro, precisamos encontrar a derivada dessa função.
Passo 4
Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Então, nosso próximo passo é resolver essa integral.
Passo 5
Para resolver a integral , vamos usar uma substituição trigonométrica. Isso é útil quando temos expressões envolvendo raízes quadradas de polinômios.
Passo 6
Vamos fazer a substituição . Então, . Substituindo na integral:
Sabemos que , então:
Portanto, a integral fica:
Passo 7
A integral de é um pouco mais complicada, mas temos uma fórmula para ela:
Então, aplicando essa fórmula, obtemos:
Passo 8
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembre-se que fizemos a substituição , então:
Substituindo de volta:
Passo 9
Agora, vamos calcular os limites da integral de a :