Dizemos que uma função tem uma descontinuidade removível em se existir mas não for contínua em , ou por não estar definida em ou por que difere do valor do limite. Determine se tem uma descontinuidade removível em , onde:
a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função tem uma descontinuidade removível no ponto . Isso está relacionado ao estudo de limites e continuidade das funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma descontinuidade removível. Ela acontece quando o limite da função em um ponto existe, mas a função não está definida nesse ponto ou o valor da função difere do limite. Nosso objetivo é verificar se isso acontece em para a função dada.

Passo 3

Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de . Se o limite existir e for igual ao valor da função nesse ponto (se definido), então a função é contínua. Caso contrário, podemos ter uma descontinuidade.

Passo 4

Vamos calcular o limite de se aproximando de por diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo:
  1. Caminho :
    Então, o limite nesse caminho é 1.
  2. Caminho :
    Aqui, o limite é 0.

Passo 5

Percebemos que os limites por diferentes caminhos são diferentes ( e ). Isso significa que o limite geral de quando se aproxima de não existe, já que depende do caminho escolhido.

Passo 6

Como o limite não existe, não podemos ter uma descontinuidade removível. Para ter essa descontinuidade, o limite precisa existir, mesmo que a função não esteja definida ou difira nesse ponto.

Resposta

A função não possui uma descontinuidade removível em , pois o limite não existe nesse ponto.

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