Dizemos que uma função
tem uma descontinuidade removível em
se existir
mas
não for contínua em
, ou por não estar definida em
ou por que
difere do valor do limite. Determine se
tem uma descontinuidade removível em
, onde:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função
tem uma descontinuidade removível no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de limites e continuidade das funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma descontinuidade removível. Ela acontece quando o limite da função em um ponto existe, mas a função não está definida nesse ponto ou o valor da função difere do limite. Nosso objetivo é verificar se isso acontece em
para a função dada.
Passo 3
Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Se o limite existir e for igual ao valor da função nesse ponto (se definido), então a função é contínua. Caso contrário, podemos ter uma descontinuidade.
Passo 4
Vamos calcular o limite de
se aproximando de
por diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo:
-
Caminho
: Então, o limite nesse caminho é 1. -
Caminho
: Aqui, o limite é 0.
Passo 5
Percebemos que os limites por diferentes caminhos são diferentes (
e
). Isso significa que o limite geral de
quando
se aproxima de
não existe, já que depende do caminho escolhido.
Passo 6
Como o limite não existe, não podemos ter uma descontinuidade removível. Para ter essa descontinuidade, o limite precisa existir, mesmo que a função não esteja definida ou difira nesse ponto.
Resposta
A função
não possui uma descontinuidade removível em
, pois o limite não existe nesse ponto.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.
Se
for a voltagem ou potencial em um ponto
do plano
, então as curvas de nível de
são denominadas curvas equipotenciais. Ao longo de tal curva, a voltagem permanece constante. Dado que
esboce as curvas equipotenciais nas quais
e
.
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.