Dizemos que uma função f(x, y) tem uma descontinuidade removível em (x0, y0) se existir lim (x, y) (x0, y0) f(x, y) mas f não for contínua em (x0, y0), ou por não estar definida em (x0, y0) ou por que f(x0, y0) difere do valor do limite. Determine se f(x, y) tem uma descontinuidade removível em (0,0), onde:
a) f(x, y)=x^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a função tem uma descontinuidade removível no ponto . Isso está relacionado ao estudo de limites e continuidade das funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma descontinuidade removível. Ela acontece quando o limite da função em um ponto existe, mas a função não está definida nesse ponto ou o valor da função difere do limite. Nosso objetivo é verificar se isso acontece em para a função dada.

Passo 3

Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de . Se o limite existir e for igual ao valor da função nesse ponto (se definido), então a função é contínua. Caso contrário, podemos ter uma descontinuidade.

Passo 4

Vamos calcular o limite de f(x, 0) = x^2x^2 + 0 = 1 se aproximando de f(0, y) = 00 + y^2 = 0 por diferentes caminhos para ver se o limite é o mesmo:
  1. Caminho :
    Então, o limite nesse caminho é 1.
  2. Caminho :
    Aqui, o limite é 0.

Passo 5

Percebemos que os limites por diferentes caminhos são diferentes ( e ). Isso significa que o limite geral de quando se aproxima de não existe, já que depende do caminho escolhido.

Passo 6

Como o limite não existe, não podemos ter uma descontinuidade removível. Para ter essa descontinuidade, o limite precisa existir, mesmo que a função não esteja definida ou difira nesse ponto.

Resposta

A função não possui uma descontinuidade removível em , pois o limite não existe nesse ponto.

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