Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade
diretriz
tem a equação polar
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cônica (como uma parábola, elipse ou hipérbole) com o foco na origem do sistema de coordenadas. A excentricidade dessa cônica é representada por
e a diretriz é a reta
. Nosso objetivo é mostrar que a equação polar dessa cônica é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo coordenadas polares, foco, excentricidade e diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a distância de um ponto
à origem (foco) é representada por
, e o ângulo polar é
.
A excentricidade
de uma cônica determina a forma da cônica:
- Se
, temos um círculo. - Se
, é uma elipse. - Se
, é uma parábola. - Se
, é uma hipérbole.
Passo 3
A definição de uma cônica com foco na origem e diretriz
é que, para qualquer ponto
da cônica, a distância de
ao foco (origem) é igual a
vezes a distância de
à diretriz.
Matematicamente, isso fica:
Passo 4
Agora, precisamos expressar a distância de um ponto
com coordenadas polares
à diretriz
em termos de
e
.
A distância de um ponto
a uma reta
é dada por:
Para a diretriz
, podemos reescrever como
, então:
Passo 5
Em coordenadas polares, sabemos que
. Substituindo isso na expressão da distância, temos:
Como estamos lidando com distâncias positivas, podemos eliminar o valor absoluto:
Passo 6
Voltando à definição da cônica:
Agora, vamos resolver essa equação para
.
Passo 7
Distribuindo o
:
Agora, vamos isolar
do lado esquerdo:
Fatorando
:
Passo 8
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A equação polar da cônica é: