Mostre que uma cônica com foco na origem, excentricidade e e diretriz y = -d tem a equação polar
r = e * d / (1 - e * sen(theta))

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cônica (como uma parábola, elipse ou hipérbole) com o foco na origem do sistema de coordenadas. A excentricidade dessa cônica é representada por e a diretriz é a reta . Nosso objetivo é mostrar que a equação polar dessa cônica é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica envolvendo coordenadas polares, foco, excentricidade e diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, a distância de um ponto à origem (foco) é representada por , e o ângulo polar é .
A excentricidade de uma cônica determina a forma da cônica:
  • Se , temos um círculo.
  • Se , é uma elipse.
  • Se , é uma parábola.
  • Se , é uma hipérbole.

Passo 3

A definição de uma cônica com foco na origem e diretriz é que, para qualquer ponto da cônica, a distância de ao foco (origem) é igual a vezes a distância de à diretriz.
Matematicamente, isso fica:
âà

Passo 4

Agora, precisamos expressar a distância de um ponto com coordenadas polares à diretriz em termos de e .
A distância de um ponto a uma reta é dada por:
â
Para a diretriz , podemos reescrever como , então:
â

Passo 5

Em coordenadas polares, sabemos que . Substituindo isso na expressão da distância, temos:
â
Como estamos lidando com distâncias positivas, podemos eliminar o valor absoluto:
â

Passo 6

Voltando à definição da cônica:
Agora, vamos resolver essa equação para .

Passo 7

Distribuindo o :
Agora, vamos isolar do lado esquerdo:
Fatorando :

Passo 8

Finalmente, isolamos :

Resposta

A equação polar da cônica é:

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