Dizemos que uma função tem uma descontinuidade removível em se existir mas não for contínua em , ou por não estar definida em ou por que difere do valor do limite. Determine se tem uma descontinuidade removível em , onde:
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre descontinuidade removível de uma função de duas variáveis. A questão pede para verificar se a função definida por:
tem uma descontinuidade removível no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de . Ou seja, queremos encontrar:
Como para , a função é dada por , vamos calcular o limite dessa expressão.

Passo 3

Calculando o limite:
Sabemos que e tendem a 0 quando e tendem a 0. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos verificar o valor da função no ponto :

Passo 5

Comparamos o limite que encontramos com o valor da função no ponto:
Como o limite existe e é diferente do valor da função no ponto, isso indica que a descontinuidade é removível.

Resposta

Sim, a função apresenta uma descontinuidade removível em porque o limite quando se aproxima de é 0, diferente do valor da função nesse ponto, que é -4. Para remover a descontinuidade, poderíamos redefinir para 0.

Exercícios relacionados

Nos exercícios 1-22, encontre e .
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
Use a Regra da Cadeia para determinar e .