Dizemos que uma função f(x, y) tem uma descontinuidade removível em (x0, y0) se existir lim (x, y) (x0, y0) f(x, y) mas f não for contínua em (x0, y0), ou por não estar definida em (x0, y0) ou por que f(x0, y0) difere do valor do limite. Determine se f(x, y) tem uma descontinuidade removível em (0,0), onde:
b) f(x, y)=llx^2+7 y^2, & se (x, y) neq(0,0) -4, & se (x, y)=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre descontinuidade removível de uma função de duas variáveis. A questão pede para verificar se a função f(x, y) = x^2 + 7y^2, & se (x, y) neq (0,0) -4, & se (x, y) = (0,0) definida por:
tem uma descontinuidade removível no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o limite de lim(x, y) to (0,0) f(x, y) quando se aproxima de . Ou seja, queremos encontrar:
Como para , a função é dada por , vamos calcular o limite dessa expressão.

Passo 3

Calculando o limite:
lim(x, y) to (0,0) x^2 + 7y^2
Sabemos que lim(x, y) to (0,0) x^2 + 7y^2 = 0 + 0 = 0 e tendem a 0 quando e tendem a 0. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos verificar o valor da função no ponto f(0,0) = -4 :

Passo 5

Comparamos o limite que encontramos com o valor da função no ponto:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 e f(0,0) = -4
Como o limite existe e é diferente do valor da função no ponto, isso indica que a descontinuidade é removível.

Resposta

Sim, a função apresenta uma descontinuidade removível em porque o limite quando se aproxima de é 0, diferente do valor da função nesse ponto, que é -4. Para remover a descontinuidade, poderíamos redefinir para 0.

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