Use a Regra da Cadeia para determinar partial z / partial s e partial z / partial t.
z=x^2-3 x^2 y^3, x=s e^t, y=s e^-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso está dentro da área de cálculo multivariável, especificamente quando lidamos com funções compostas. A gente vai precisar entender como aplicar a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis e usar as derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as relações que temos:
z = x^2 - 3x^2y^3, x = se^t, y = se^-t
Aqui, depende de e , e tanto quanto dependem de e . Então, é uma função de e através de e .

Passo 3

Para achar partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t , vamos usar a Regra da Cadeia, que para funções de várias variáveis fica assim:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, partial zpartial x = 2x - 6xy^3 :
partial zpartial y = -9x^2y^2
Depois, partial xpartial s = e^t, partial xpartial t = se^t :
partial ypartial s = e^-t, partial ypartial t = -se^-t
Agora, as derivadas de e em relação a e :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia para partial zpartial s = (2x - 6xy^3) cdot e^t + (-9x^2y^2) cdot e^-t :
partial zpartial t = (2x - 6xy^3) cdot se^t + (-9x^2y^2) cdot (-se^-t)
E para :

Passo 6

Agora, vamos substituir partial zpartial s = (2(se^t) - 6(se^t)(se^-t)^3) cdot e^t + (-9(se^t)^2(se^-t)^2) cdot e^-t e partial zpartial s = (2se^t - 6s e^t s^3 e^-3t) e^t + (-9s^2e^2t s^2e^-2t) e^-t nessas expressões:
Para = (2se^t - 6s^4e^-2t)e^t + (-9s^4)e^-t :
= 2se^2t - 6s^4e^-t - 9s^4e^-t
Simplificando:
= 2se^2t - 15s^4e^-t
partial zpartial t = (2se^t - 6s e^t s^3 e^-3t) se^t + (-9s^2e^2t s^2e^-2t) (-se^-t)
partial zpartial t = (2se^t - 6s^4e^-2t) se^t + 9s^5e^-t
= 2s^2e^2t - 6s^5e^-t + 9s^5e^-t
Para = 2s^2e^2t + 3s^5e^-t :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 2s e^2t - 15s^4 e^-t
partial zpartial t = 2s^2 e^2t + 3s^5 e^-t

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