Dizemos que uma matriz é simétrica se e que é antissimétrica se . Mostre que
(a) Se é uma matriz qualquer, então as matrizes e são simétricas;
(b) Se é uma matriz quadrada de ordem , então as matrizes e são, respectivamente, simétrica e antissimétrica;
© Usando o item anterior, mostre que toda matriz pode ser escrita de forma única como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica;
(d) Mostre que a única matriz que é, simultaneamente, simétrica e antissimétrica é a matriz nula.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui! A gente está trabalhando com matrizes e vamos explorar dois tipos especiais delas: simétricas e antissimétricas. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Já uma matriz é antissimétrica se a transposta dela é igual ao negativo dela, .
No exercício, temos quatro partes (a) a (d) que vão nos ajudar a entender melhor essas propriedades e como elas se relacionam entre si. Vamos precisar usar operações com transpostas de matrizes e entender como construir matrizes simétricas e antissimétricas a partir de matrizes dadas.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que e são simétricas.
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica. Como dissemos, uma matriz é simétrica se .
Vamos começar analisando :
  1. Calculamos a transposta de :
    2. Usamos a propriedade de transposta de um produto de matrizes, que diz que :
  2. Percebemos que , então �� simétrica.
Agora, vamos ver :
  1. Calculamos a transposta de :
    2. Aplicando a mesma propriedade:
  2. Novamente, , então também é simétrica.

Passo 3

Parte (b): Mostrar que é simétrica e é antissimétrica.
Vamos começar com :
  1. Calculamos a transposta de :
    2. Sabemos que .
    3. Assim:
  2. Portanto, é simétrica.
Agora, para :
  1. Calculamos a transposta de :
    2. Aplicando a propriedade:
  2. Reescrevendo:
    4. Assim, , o que significa que é antissimétrica.

Passo 4

Parte ©: Mostrar que toda matriz pode ser escrita de forma única como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica.
Para isso, vamos usar os resultados da parte (b). Dizemos que qualquer matriz pode ser decomposta em duas partes:
  1. Uma parte simétrica:
  2. Uma parte antissimétrica:
Vamos somar essas duas partes:
Isso mostra que pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica ( ) e uma antissimétrica ( ). Além disso, essa decomposição é única porque as partes simétrica e antissimétrica são determinadas unicamente por .

Passo 5

Parte (d): Mostrar que a única matriz que é, simultaneamente, simétrica e antissimétrica é a matriz nula.
Vamos considerar uma matriz que seja tanto simétrica quanto antissimétrica:
  1. Se é simétrica, então .
  2. Se é antissimétrica, então .
  3. Igualando as duas expressões:
    4. Somando em ambos os lados:

    5. Dividindo por 2:
Portanto, a única matriz que satisfaz ser simultaneamente simétrica e antissimétrica é a matriz nula.

Resposta

Demonstramos que:
(a) As matrizes e são simétricas;
(b) As matrizes é simétrica e é antissimétrica;
© Toda matriz pode ser escrita de forma única como a soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica;
(d) A única matriz que é, simultaneamente, simétrica e antissimétrica é a matriz nula.

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