Beleza, vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui! A gente está trabalhando com matrizes e vamos explorar dois tipos especiais delas: simétricas e antissimétricas. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Já uma matriz é antissimétrica se a transposta dela é igual ao negativo dela, .
No exercício, temos quatro partes (a) a (d) que vão nos ajudar a entender melhor essas propriedades e como elas se relacionam entre si. Vamos precisar usar operações com transpostas de matrizes e entender como construir matrizes simétricas e antissimétricas a partir de matrizes dadas.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que e são simétricas.
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica. Como dissemos, uma matriz é simétrica se .
Vamos começar analisando :
Calculamos a transposta de :
2. Usamos a propriedade de transposta de um produto de matrizes, que diz que :
Percebemos que , então �� simétrica.
Agora, vamos ver :
Calculamos a transposta de :
2. Aplicando a mesma propriedade:
Novamente, , então também é simétrica.
Passo 3
Parte (b): Mostrar que é simétrica e é antissimétrica.
Vamos começar com :
Calculamos a transposta de :
2. Sabemos que .
3. Assim:
Portanto, é simétrica.
Agora, para :
Calculamos a transposta de :
2. Aplicando a propriedade:
Reescrevendo:
4. Assim, , o que significa que é antissimétrica.
Para isso, vamos usar os resultados da parte (b). Dizemos que qualquer matriz pode ser decomposta em duas partes:
Uma parte simétrica:
Uma parte antissimétrica:
Vamos somar essas duas partes:
Isso mostra que pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica () e uma antissimétrica (). Além disso, essa decomposição é única porque as partes simétrica e antissimétrica são determinadas unicamente por .
Passo 5
Parte (d): Mostrar que a única matriz que é, simultaneamente, simétrica e antissimétrica é a matriz nula.
Vamos considerar uma matriz que seja tanto simétrica quanto antissimétrica:
Se é simétrica, então .
Se é antissimétrica, então .
Igualando as duas expressões:
4. Somando em ambos os lados:
5. Dividindo por 2:
Portanto, a única matriz que satisfaz ser simultaneamente simétrica e antissimétrica é a matriz nula.