Dizemos que (x0, y0) é um ponto crítico ou estacionário de z=f(x, y) se partial fpartial x(x0, y0)=0 e partial fpartial y(x0, y0)=0. Determine caso existam os pontos críticos da função dada: f(x, y)=3 x^2+8 x y^2-14 x-16 y.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo pontos críticos de uma função de duas variáveis. Precisamos encontrar os pontos críticos da função dada . Para isso, vamos utilizar as derivadas parciais em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial fpartial x = 6x + 8y^2 - 14 em relação a partial fpartial y = 16xy - 16 e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
6x + 8y^2 - 14 = 0 16xy - 16 = 0

Passo 4

Vamos resolver a segunda equação para 16xy - 16 = 0 16xy = 16 xy = 1 x = 1y :
6(1y) + 8y^2 - 14 = 0 6y + 8y^2 - 14 = 0
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 5

Para eliminar o denominador, multiplicamos toda a equação por 6 + 8y^3 - 14y = 0 8y^3 - 14y + 6 = 0 :
Esta é uma equação cúbica que podemos tentar resolver encontrando raízes racionais.

Passo 6

Testamos possíveis valores de 8(1)^3 - 14(1) + 6 = 8 - 14 + 6 = 0 que satisfazem a equação . Tentando :
Portanto, é uma raiz da equação.

Passo 7

Agora, fatoramos a equação cúbica usando 8y^3 - 14y + 6 = (y - 1)(8y^2 + 8y + 6) como fator:
De
Resolvendo a segunda parte , encontramos o discriminante:
Como , não há soluções reais adicionais.

Passo 8

Voltando para , encontramos .

Resposta

O único ponto crítico da função é .

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