Dizemos que
é um ponto crítico ou estacionário de
se
e
. Determine caso existam os pontos críticos da função dada:
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo pontos críticos de uma função de duas variáveis. Precisamos encontrar os pontos críticos da função dada
. Para isso, vamos utilizar as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema de equações onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Passo 4
Vamos resolver a segunda equação para
:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 5
Para eliminar o denominador, multiplicamos toda a equação por
:
Esta é uma equação cúbica que podemos tentar resolver encontrando raízes racionais.
Passo 6
Testamos possíveis valores de
que satisfazem a equação
. Tentando
:
Portanto,
é uma raiz da equação.
Passo 7
Agora, fatoramos a equação cúbica usando
como fator:
Resolvendo a segunda parte
, encontramos o discriminante:
Como
, não há soluções reais adicionais.
Passo 8
Voltando para
, encontramos
.
Resposta
O único ponto crítico da função é
.