Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções: f(x, y) = x + 3y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para exibirmos o domínio, a imagem e as curvas de nível da função . Além disso, precisamos desenhar essas curvas de nível e esboçar o gráfico da função. Vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis, domínios, imagens e curvas de nível para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores das variáveis de entrada para os quais a função está definida. No nosso caso, a função é .
Como não temos nenhuma restrição, como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo, o domínio dessa função é todo o plano . Ou seja, qualquer valor real de e está dentro do domínio.
Matematicamente, podemos escrever:
í
Isso significa que e podem ser qualquer número real.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir, dado o domínio.
Como , e tanto quanto podem assumir qualquer valor real, a soma também pode assumir qualquer valor real. Não há restrições para os valores que pode tomar.
Então, a imagem da função é também todo o conjunto dos números reais:

Passo 4

Vamos agora falar sobre as curvas de nível da função. Curvas de nível são curvas no plano onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor constante , a curva de nível é definida por:
No nosso caso:
Isso é uma equação linear que representa uma reta no plano para cada valor de . Portanto, as curvas de nível da função são retas com diferentes interceptos no eixo.

Passo 5

Vamos desenhar as curvas de nível. Para isso, escolhemos alguns valores de e traçamos as retas correspondentes.
Por exemplo:
  • Para : =>
  • Para : =>
  • Para : =>
Essas retas serão paralelas entre si, pois têm o mesmo coeficiente angular ( ), mas diferentes interceptos no eixo .

Passo 6

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função . Essa função representa um plano inclinado no espaço tridimensional.
Para visualizar, podemos considerar que para cada ponto no plano , a função atribui a altura . Então, o gráfico será uma superfície plana que se estende indefinidamente nas direções de e .

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais para e )
  • Imagem: (todos os números reais para )
  • Curvas de nível: Retas da forma , onde é uma constante real
  • Gráfico da função: Um plano inclinado no espaço tridimensional definido por

Exercícios relacionados