Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para exibirmos o domínio, a imagem e as curvas de nível da função
. Além disso, precisamos desenhar essas curvas de nível e esboçar o gráfico da função. Vamos precisar entender um pouco sobre funções de duas variáveis, domínios, imagens e curvas de nível para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores das variáveis de entrada para os quais a função está definida. No nosso caso, a função é
.
Como não temos nenhuma restrição, como divisão por zero ou raiz quadrada de número negativo, o domínio dessa função é todo o plano
. Ou seja, qualquer valor real de
e
está dentro do domínio.
Matematicamente, podemos escrever:
Isso significa que
e
podem ser qualquer número real.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores que a função pode assumir, dado o domínio.
Como
, e tanto
quanto
podem assumir qualquer valor real, a soma
também pode assumir qualquer valor real. Não há restrições para os valores que
pode tomar.
Então, a imagem da função é também todo o conjunto dos números reais:
Passo 4
Vamos agora falar sobre as curvas de nível da função. Curvas de nível são curvas no plano
onde a função assume um valor constante. Ou seja, para um valor constante
, a curva de nível é definida por:
No nosso caso:
Isso é uma equação linear que representa uma reta no plano
para cada valor de
. Portanto, as curvas de nível da função
são retas com diferentes interceptos no eixo.
Passo 5
Vamos desenhar as curvas de nível. Para isso, escolhemos alguns valores de
e traçamos as retas correspondentes.
Por exemplo:
- Para
: => - Para
: => - Para
: =>
Essas retas serão paralelas entre si, pois têm o mesmo coeficiente angular (
), mas diferentes interceptos no eixo
.
Passo 6
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função
. Essa função representa um plano inclinado no espaço tridimensional.
Para visualizar, podemos considerar que para cada ponto
no plano
, a função atribui a altura
. Então, o gráfico será uma superfície plana que se estende indefinidamente nas direções de
e
.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais para e ) - Imagem:
(todos os números reais para ) - Curvas de nível: Retas da forma
, onde é uma constante real - Gráfico da função: Um plano inclinado no espaço tridimensional definido por