Dizemos que
é um ponto crítico ou estacionário de
se
e
. Determine caso existam os pontos críticos da função dada:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que são usadas para identificar pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. A derivada parcial em relação a
mede como a função muda quando mudamos
, mantendo
constante.
Como
é constante em relação a
, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Essa derivada mostra como a função muda quando alteramos
, mantendo
constante.
Aqui,
é constante em relação a
, então a derivada é:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Substituindo as derivadas que encontramos:
A primeira equação,
, não tem solução real, porque 2 nunca é igual a 0. Isso significa que não existe nenhum valor de
e
que satisfaça ambas as equações simultaneamente.
Resposta
Não existem pontos críticos para a função
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função de uma variável real, diferenciável e tal que
. Seja
. Calcule
e
. Verifique que
para todo
Suponha que a função
admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação
. Expresse
e
em termos de
.
Dizemos que
é um ponto crítico ou estacionário de
se
e
. Determine caso existam os pontos críticos da função dada:
.
Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções:
.