Dizemos que (x0, y0) é um ponto crítico ou estacionário de z=f(x, y) se partial fpartial x(x0, y0)=0 e partial fpartial y(x0, y0)=0. Determine caso existam os pontos críticos da função dada: f(x, y)=2 x+y^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que são usadas para identificar pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a mede como a função muda quando mudamos , mantendo constante.
Como é constante em relação a , a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Essa derivada mostra como a função muda quando alteramos , mantendo constante.
Aqui, é constante em relação a , então a derivada é:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
partial fpartial x = 0 partial fpartial y = 0
Substituindo as derivadas que encontramos:
2 = 0 3y^2 = 0
A primeira equação, , não tem solução real, porque 2 nunca é igual a 0. Isso significa que não existe nenhum valor de e que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

Não existem pontos críticos para a função .

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