Dizemos que é um ponto crítico ou estacionário de se e . Determine caso existam os pontos críticos da função dada: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que são usadas para identificar pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada parcial de em relação a . A derivada parcial em relação a mede como a função muda quando mudamos , mantendo constante.
Como é constante em relação a , a derivada fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Essa derivada mostra como a função muda quando alteramos , mantendo constante.
Aqui, é constante em relação a , então a derivada é:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Substituindo as derivadas que encontramos:
A primeira equação, , não tem solução real, porque 2 nunca é igual a 0. Isso significa que não existe nenhum valor de e que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

Não existem pontos críticos para a função .

Exercícios relacionados

Seja uma função de uma variável real, diferenciável e tal que . Seja . Calcule e . Verifique que
para todo
Suponha que a função admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação . Expresse e em termos de .
Dizemos que é um ponto crítico ou estacionário de se e . Determine caso existam os pontos críticos da função dada: .
Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções: .