Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função
. Nosso objetivo é descobrir três coisas: o domínio (onde a função está definida), a imagem (os possíveis valores que a função pode assumir) e as curvas de nível (linhas onde a função mantém o mesmo valor). Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio, imagem e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
e
para os quais a função está definida. Olhando para
, não tem nada que restrinja
e
. Não há divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, por exemplo. Então, o domínio é todo o conjunto de números reais para
e
.
Matematicamente, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos descobrir a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir. A função é
. Sabemos que
e
são sempre maiores ou iguais a zero. Então, a soma
também é
.
Isso significa que:
E como não há limite inferior (já que
pode crescer sem limites), a imagem é todos os números reais menores ou iguais a 1.
Em termos matemáticos:
Passo 4
Vamos falar das curvas de nível. Curvas de nível são combinações de valores de
e
que fazem a função assumir um valor constante
. Então, colocamos
e resolvemos para
e
.
Começamos com:
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com raio
e centro na origem
. Vale lembrar que para termos um círculo real,
precisa ser positivo, ou seja,
.
Então, as curvas de nível são círculos com raio
centrados na origem.
Passo 5
Vamos visualizar as curvas de nível desenhando alguns exemplos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses círculos ficam maiores à medida que
diminui.
Passo 6
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
. Essa função representa uma superfície parabólica chamada paraboloide, que abre para baixo. O ponto mais alto da parábola está na origem
, e ela se estende para baixo conforme
e
aumentam.
Um esboço desse gráfico mostraria uma “tigela” invertida, onde as curvas de nível são círculos empilhados um sobre o outro, ficando maiores conforme desce.
Resposta
- Domínio: Todos os números reais para
e , ou seja, . - Imagem: Todos os valores reais menores ou iguais a 1, ou seja,
. - Curvas de nível: Círculos centrados na origem com raio
, onde .
As curvas de nível são círculos que aumentam de tamanho à medida que
diminui, e o gráfico da função é um paraboloide que abre para baixo, tendo seu ponto mais alto na origem.