Exiba o domínio, a imagem e as curvas de nível das seguintes funções. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico das funções: f(x, y) = 1 - x^2 - y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar a função . Nosso objetivo é descobrir três coisas: o domínio (onde a função está definida), a imagem (os possíveis valores que a função pode assumir) e as curvas de nível (linhas onde a função mantém o mesmo valor). Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, domínio, imagem e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de e para os quais a função está definida. Olhando para , não tem nada que restrinja e . Não há divisões por zero ou raízes quadradas de números negativos, por exemplo. Então, o domínio é todo o conjunto de números reais para e .
Matematicamente, podemos escrever:
í

Passo 3

Agora, vamos descobrir a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir. A função é . Sabemos que e são sempre maiores ou iguais a zero. Então, a soma também é .
Isso significa que:
E como não há limite inferior (já que pode crescer sem limites), a imagem é todos os números reais menores ou iguais a 1.
Em termos matemáticos:

Passo 4

Vamos falar das curvas de nível. Curvas de nível são combinações de valores de e que fazem a função assumir um valor constante . Então, colocamos e resolvemos para e .
Começamos com:
Rearranjando:
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem . Vale lembrar que para termos um círculo real, precisa ser positivo, ou seja, .
Então, as curvas de nível são círculos com raio centrados na origem.

Passo 5

Vamos visualizar as curvas de nível desenhando alguns exemplos:
  • Para :
í
  • Para :
í
  • Para :
í
Esses círculos ficam maiores à medida que diminui.

Passo 6

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função . Essa função representa uma superfície parabólica chamada paraboloide, que abre para baixo. O ponto mais alto da parábola está na origem , e ela se estende para baixo conforme e aumentam.
Um esboço desse gráfico mostraria uma “tigela” invertida, onde as curvas de nível são círculos empilhados um sobre o outro, ficando maiores conforme desce.

Resposta

  • Domínio: Todos os números reais para e , ou seja, .
  • Imagem: Todos os valores reais menores ou iguais a 1, ou seja, .
  • Curvas de nível: Círculos centrados na origem com raio , onde .
As curvas de nível são círculos que aumentam de tamanho à medida que diminui, e o gráfico da função é um paraboloide que abre para baixo, tendo seu ponto mais alto na origem.

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