Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear que manda certos vetores em outros vetores específicos. O que a questão está pedindo é para descobrir qual é a matriz que representa essa transformação linear em relação à base canônica (ou seja, a base padrão) de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a base canônica de . Ela é formada pelos vetores:
Nossa missão é descobrir onde cada um desses vetores é mapeado por , ou seja, encontrar , e . Com essas imagens em mãos, conseguimos montar a matriz de .
Passo 3
Vamos montar a matriz de na base canônica. Sabemos que a matriz de uma transformação linear é formada pelas imagens dos vetores da base como colunas. Então, se chamarmos a matriz de de , teremos:
Nosso objetivo é encontrar , e .
Passo 4
A gente não tem diretamente as imagens dos vetores da base, mas temos as imagens de alguns vetores específicos:
Vamos usar a linearidade de para expressar essas imagens em termos de , e .
Passo 5
Vamos escrever as equações baseado na linearidade:
Da segunda equação, já sabemos que .
Passo 6
Agora, vamos usar a terceira equação para encontrar :
Então, .
Passo 7
Agora que temos e , vamos usar a primeira equação para encontrar :
Então, .
Resposta
A matriz da transformação em relação à base canônica é: