Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1) e T(0,1,1)=(0,0,1).
© Determine a matriz da transformaçâo com respeito à base canônica de RT

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear que manda certos vetores em outros vetores específicos. O que a questão está pedindo é para descobrir qual é a matriz que representa essa transformação linear em relação à base canônica (ou seja, a base padrão) de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a base canônica de e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) . Ela é formada pelos vetores:
Nossa missão é descobrir onde cada um desses vetores é mapeado por , ou seja, encontrar , e . Com essas imagens em mãos, conseguimos montar a matriz de .

Passo 3

Vamos montar a matriz de A = T(e1) & T(e2) & T(e3) na base canônica. Sabemos que a matriz de uma transformação linear é formada pelas imagens dos vetores da base como colunas. Então, se chamarmos a matriz de de , teremos:
Nosso objetivo é encontrar , e .

Passo 4

A gente não tem diretamente as imagens dos vetores da base, mas temos as imagens de alguns vetores específicos:
T(1, 0, 1) = (1, 1, 0), T(0, 1, 0) = (1, 0, -1), T(0, 1, 1) = (0, 0, 1)
Vamos usar a linearidade de para expressar essas imagens em termos de , e .

Passo 5

Vamos escrever as equações baseado na linearidade:
Da segunda equação, já sabemos que .

Passo 6

Agora, vamos usar a terceira equação para encontrar T(e2) + T(e3) = (0, 0, 1) (1, 0, -1) + T(e3) = (0, 0, 1) T(e3) = (0, 0, 1) - (1, 0, -1) = (-1, 0, 2) :
Então, .

Passo 7

Agora que temos T(e1) + T(e3) = (1, 1, 0) T(e1) + (-1, 0, 2) = (1, 1, 0) T(e1) = (1, 1, 0) - (-1, 0, 2) = (2, 1, -2) e , vamos usar a primeira equação para encontrar :
Então, .

Resposta

A matriz da transformação A = 2 & 1 & -1 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 2 em relação à base canônica é:

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