Seja um operador linear tal que e .
© Determine a matriz da transformaçâo com respeito à base canônica de RT

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear que manda certos vetores em outros vetores específicos. O que a questão está pedindo é para descobrir qual é a matriz que representa essa transformação linear em relação à base canônica (ou seja, a base padrão) de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a base canônica de . Ela é formada pelos vetores:
Nossa missão é descobrir onde cada um desses vetores é mapeado por , ou seja, encontrar , e . Com essas imagens em mãos, conseguimos montar a matriz de .

Passo 3

Vamos montar a matriz de na base canônica. Sabemos que a matriz de uma transformação linear é formada pelas imagens dos vetores da base como colunas. Então, se chamarmos a matriz de de , teremos:
Nosso objetivo é encontrar , e .

Passo 4

A gente não tem diretamente as imagens dos vetores da base, mas temos as imagens de alguns vetores específicos:
Vamos usar a linearidade de para expressar essas imagens em termos de , e .

Passo 5

Vamos escrever as equações baseado na linearidade:
Da segunda equação, já sabemos que .

Passo 6

Agora, vamos usar a terceira equação para encontrar :
Então, .

Passo 7

Agora que temos e , vamos usar a primeira equação para encontrar :
Então, .

Resposta

A matriz da transformação em relação à base canônica é:

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Dizemos que um ponto é simétrico do ponto com respeito a quando . Em cada caso, determine o ponto simétrico de com respeito a :
e .
Utilizando vetores, como verificar que três pontos são colineares?
Considere os vetores e . Calcule e desenhe os vetores e .
Seja um operador linear tal que e .
(d) Té sobrejetora? Justifique sua resposta. Té injetora? Justifique sua resposta. T e bijetora? lustifique sua resposta.