Seja
um operador linear tal que
e
.
© Determine a matriz da transformaçâo com respeito à base canônica de RT
© Determine a matriz da transformaçâo com respeito à base canônica de RT
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear
que manda certos vetores em outros vetores específicos. O que a questão está pedindo é para descobrir qual é a matriz que representa essa transformação linear em relação à base canônica (ou seja, a base padrão) de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como matrizes de transformações lineares e propriedades de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a base canônica de
. Ela é formada pelos vetores:
Nossa missão é descobrir onde cada um desses vetores é mapeado por
, ou seja, encontrar
,
e
. Com essas imagens em mãos, conseguimos montar a matriz de
.
Passo 3
Vamos montar a matriz de
na base canônica. Sabemos que a matriz de uma transformação linear é formada pelas imagens dos vetores da base como colunas. Então, se chamarmos a matriz de
de
, teremos:
Nosso objetivo é encontrar
,
e
.
Passo 4
A gente não tem diretamente as imagens dos vetores da base, mas temos as imagens de alguns vetores específicos:
Vamos usar a linearidade de
para expressar essas imagens em termos de
,
e
.
Passo 5
Vamos escrever as equações baseado na linearidade:
Da segunda equação, já sabemos que
.
Passo 6
Agora, vamos usar a terceira equação para encontrar
:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos usar a primeira equação para encontrar
:
Então,
.
Resposta
A matriz da transformação
em relação à base canônica é: