Dizemos que a soma de dois S.V. V1 e V2 de um mesmo E.V. V, é soma direta se V1 cap V2=O, e escrevemos V1 oplus V2. Determine se a soma da questão anterior é direta. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está falando sobre soma direta de dois Subespaços Vetoriais (S.V.) V1 e V2 que pertencem a um mesmo Espaço Vetorial (E.V.) V. A soma é direta se a interseção desses dois subespaços for apenas o vetor zero, ou seja, V1 cap V2 = O. Para resolver isso, precisamos entender como verificar se dois subespaços têm apenas o vetor zero em comum.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Então, V1 e V2 são conjuntos que satisfazem essas propriedades dentro de V.

Passo 3

Agora, para que a soma V1 + V2 seja direta, precisamos que a única solução para a equação v1 + v2 = O seja v1 = O e v2 = O. Isso significa que não existe nenhum vetor diferente de zero que pertença simultaneamente a V1 e V2.

Passo 4

Para verificar isso, vamos assumir que existe um vetor v que está tanto em V1 quanto em V2. Então, v in V1 e v in V2. Se a soma for direta, a única possibilidade é que v seja o vetor zero, ou seja, v = O.

Passo 5

Vamos supor que além do vetor zero, existe outro vetor v neq O que pertence a ambos os subespaços. Isso violaria a condição de soma direta, porque teríamos um vetor não nulo em comum, ou seja, V1 cap V2 neq O.

Passo 6

Portanto, se conseguirmos mostrar que a interseção V1 cap V2 contém apenas o vetor zero, podemos concluir que a soma é direta. Caso contrário, a soma não é direta.

Resposta

Com base nisso, se verificarmos que a interseção de V1 e V2 é apenas o vetor zero, ou seja, V1 cap V2 = O, então a soma V1 oplus V2 é direta.

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