Dizemos que a soma de dois S.V. e de um mesmo E.V. , é soma direta se , e escrevemos . Determine se a soma da questão anterior é direta. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está falando sobre soma direta de dois Subespaços Vetoriais (S.V.) e que pertencem a um mesmo Espaço Vetorial (E.V.) . A soma é direta se a interseção desses dois subespaços for apenas o vetor zero, ou seja, . Para resolver isso, precisamos entender como verificar se dois subespaços têm apenas o vetor zero em comum.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Então, e são conjuntos que satisfazem essas propriedades dentro de .
Passo 3
Agora, para que a soma seja direta, precisamos que a única solução para a equação seja e . Isso significa que não existe nenhum vetor diferente de zero que pertença simultaneamente a e .
Passo 4
Para verificar isso, vamos assumir que existe um vetor que está tanto em quanto em . Então, e . Se a soma for direta, a única possibilidade é que seja o vetor zero, ou seja, .
Passo 5
Vamos supor que além do vetor zero, existe outro vetor que pertence a ambos os subespaços. Isso violaria a condição de soma direta, porque teríamos um vetor não nulo em comum, ou seja, .
Passo 6
Portanto, se conseguirmos mostrar que a interseção contém apenas o vetor zero, podemos concluir que a soma é direta. Caso contrário, a soma não é direta.
Resposta
Com base nisso, se verificarmos que a interseção de e é apenas o vetor zero, ou seja, , então a soma é direta.