Dizemos que a soma de dois S.V.
e
de um mesmo E.V.
, é soma direta se
, e escrevemos
. Determine se a soma da questão anterior é direta. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está falando sobre soma direta de dois Subespaços Vetoriais (S.V.)
e
que pertencem a um mesmo Espaço Vetorial (E.V.)
. A soma é direta se a interseção desses dois subespaços for apenas o vetor zero, ou seja,
. Para resolver isso, precisamos entender como verificar se dois subespaços têm apenas o vetor zero em comum.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é subespaço vetorial. Um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de conter o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar. Então,
e
são conjuntos que satisfazem essas propriedades dentro de
.
Passo 3
Agora, para que a soma
seja direta, precisamos que a única solução para a equação
seja
e
. Isso significa que não existe nenhum vetor diferente de zero que pertença simultaneamente a
e
.
Passo 4
Para verificar isso, vamos assumir que existe um vetor
que está tanto em
quanto em
. Então,
e
. Se a soma for direta, a única possibilidade é que
seja o vetor zero, ou seja,
.
Passo 5
Vamos supor que além do vetor zero, existe outro vetor
que pertence a ambos os subespaços. Isso violaria a condição de soma direta, porque teríamos um vetor não nulo em comum, ou seja,
.
Passo 6
Portanto, se conseguirmos mostrar que a interseção
contém apenas o vetor zero, podemos concluir que a soma é direta. Caso contrário, a soma não é direta.
Resposta
Com base nisso, se verificarmos que a interseção de
e
é apenas o vetor zero, ou seja,
, então a soma
é direta.