Encontre o valor x in R a fim de que u times v=(-3,6,-5) dados que u=(1, x, 3) e v=(3,4, x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de em que o produto vetorial entre os vetores e seja igual a . Para resolver isso, vamos usar a matéria de produtos vetoriais, que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados. Vamos precisar calcular o produto vetorial de e e igualar ao vetor dado para descobrir o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores u times v = ( u2 v3 - u3 v2, u3 v1 - u1 v3, u1 v2 - u2 v1 ) e . A fórmula é:
Isso vai nos dar um novo vetor com três componentes.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula aos nossos vetores u times v = ( x cdot x - 3 cdot 4, 3 cdot 3 - 1 cdot x, 1 cdot 4 - x cdot 3 ) e u times v = ( x^2 - 12, 9 - x, 4 - 3x ) :

Passo 4

Agora, sabemos que esse produto vetorial deve ser igual a x^2 - 12 = -3 (1) . Então, igualamos cada componente:
9 - x = 6 (2)
4 - 3x = -5 (3)
9 - x = 6 implies x = 9 - 6 implies x = 3
Vamos resolver cada equação:
Da equação (2):
4 - 3(3) = 4 - 9 = -5 Confere!
Verificamos com a equação (3):
3^2 - 12 = 9 - 12 = -3 Também confere!
Agora, vamos verificar a equação (1) com :
é

Resposta

O valor de que satisfaz a condição é .

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