Uma doença D atinge 1% de certa população. Um exame de sangue detecta a doença (dá resultado positivo) em 95% das pessoas que a têm. Por outro lado, o exame detecta erroneamente (dá resultado positivo) em 10% das pessoas que não a têm. Se uma pessoa, escolhida ao acaso na população, fizer o exame e o resultado for positivo, a probabilidade de que ela tenha, de fato, a doença é aproximadamente?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre probabilidade, especificamente sobre como determinar a chance de alguém realmente ter uma doença dado que o exame deu positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade condicional e Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar as informações que temos:
  • Proporção da doença na população (P(D)): 1%, ou seja, $ P(D) = 0{,}01 $.
  • Probabilidade do exame dar positivo se a pessoa tem a doença (P(+|D)): 95%, ou seja, $ P(+|D) = 0{,}95 $.
  • Probabilidade do exame dar positivo se a pessoa não tem a doença (P(+|¬D)): 10%, ou seja, $ P(+|¬D) = 0{,}10 $.
  • Proporção da população sem a doença (P(¬D)): 99%, ou seja, $ P(¬D) = 0{,}99 $.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o exame deu positivo (P(D|+)). Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que é uma fórmula da probabilidade condicional.
O Teorema de Bayes é dado por:
P(D|+) = P(+|D) times P(D)P(+)
Onde $ P(+) $ é a probabilidade geral do exame dar positivo, que pode acontecer tanto se a pessoa tem a doença quanto se ela não tem.

Passo 4

Vamos calcular $ P(+) $. Isso inclui dois cenários:
  1. A pessoa tem a doença e o exame detecta corretamente.
  2. A pessoa não tem a doença, mas o exame dá um falso positivo.
Portanto:
P(+)
Substituindo os valores:
P(+) = P(+|D) times P(D) + P(+|¬D) times P(¬D)

Passo 5

Agora, voltando ao Teorema de Bayes, substituímos os valores que já temos:
P(D|+) = 0,95 times 0,010,1085 = 0,00950,1085 approx 0,0876

Resposta

A probabilidade de que a pessoa tenha realmente a doença, dado que o exame deu positivo, é aproximadamente 8{,}8%.

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