Suponha que temos duas variáveis aleatórias X e Y, onde Y=g(X) é uma função de X. Uma empresa de meteorologia modelou a quantidade de chuva em um dia como X e a quantidade de água coletada em um reservatório como Y. Eles têm um modelo estatístico completo para X e estão tentando calcular a probabilidade de um evento associado a Y. Se B é o evento de que a quantidade de água coletada Y está entre 50 e 100 litros, qual dos seguintes seria uma abordagem correta para encontrar a probabilidade de B?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas variáveis aleatórias, X e Y, onde Y é uma função de X (Y = g(X)). No caso, X representa a quantidade de chuva em um dia e Y é a quantidade de água coletada no reservatório. A empresa quer saber a probabilidade de que Y esteja entre 50 e 100 litros. Para resolver isso, vamos precisar entender como Y depende de X e usar a distribuição de probabilidade de X.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre Y e X. Como Y = g(X), qualquer valor de Y está diretamente ligado a um valor específico de X. Isso significa que, para encontrar quando Y está entre 50 e 100 litros, precisamos descobrir quais valores de X correspondem a essa faixa de Y.

Passo 3

Vamos expressar o evento B (50 ≤ Y ≤ 100) em termos de X. Substituindo Y por g(X), temos:
50 <= g(X) <= 100
Isso nos ajuda a identificar os valores de X que resultam em Y dentro dessa faixa.

Passo 4

Agora, precisamos resolver a desigualdade para X. Dependendo da função g, isso pode significar isolar X:
g^-1(50) <= X <= g^-1(100)
Aqui, $ g^{-1} $ é a função inversa de g, que nos dá os valores de X correspondentes a Y = 50 e Y = 100.

Passo 5

Com os limites de X definidos, usamos a distribuição estatística de X que a empresa já tem para calcular a probabilidade de X estar entre $ g^{-1}(50) $ e $ g^{-1}(100) $. Essencialmente, estamos calculando:
g^-1(50)
Isso nos dará a probabilidade de que Y esteja entre 50 e 100 litros.

Resposta

A abordagem correta é converter o intervalo de Y para o correspondente intervalo de X usando a função inversa de g, e então calcular a probabilidade de X estar dentro desse intervalo usando o modelo estatístico de X. Assim, a probabilidade de B é:
P(g^-1(50) <= X <= g^-1(100))

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