Dois alto-falantes são colocados à uma distância de 3,00 m um do outro, em um auditório. Um detector é também colocado à 20,0 m de um dos alto-falantes e 21,2 m do outro. Um gerador de sinal (onda) é ligado aos alto-falantes gerando ondas em fase na faixa de 2 KHz a 20 KHz . Qual a mais baixa nota (frequência) para a qual ocorre a maior interferência destrutiva?

Passo 1

Vamos lá! Você tem dois alto-falantes separados por 3 metros em um auditório e um detector colocado a 20 metros de um alto-falante e 21,2 metros do outro. Quando os alto-falantes emitem ondas sonoras em fase, queremos encontrar a menor frequência dentro da faixa de 2 KHz a 20 KHz que cause a maior interferência destrutiva no detector. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de interferência de ondas sonoras, diferença de caminho e a relação entre frequência, comprimento de onda e velocidade do som.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença de distância que o som percorre de cada alto-falante até o detector. O detector está a 20,0 metros de um alto-falante e a 21,2 metros do outro. A diferença de caminho ( De) é:

Passo 3

Para que ocorra interferência destrutiva máxima, a diferença de caminho deve ser um múltiplo ímpar de metade do comprimento de onda ( De). Isso é dado pela fórmula:
1,2,m = ( 0 + 12 ) lambda Rightarrow lambda = 2 times 1,2,m = 2,4,m
Onde é um número inteiro (0, 1, 2, …). Queremos a menor frequência, então vamos usar :

Passo 4

Sabemos que a relação entre a velocidade do som ( v = f lambda ), frequência ( f = vlambda = 343,m/s2,4,m approx 142,92,Hz ) e comprimento de onda ( ) é:
Considerando que a velocidade do som no ar é aproximadamente , podemos rearranjar a fórmula para encontrar a frequência:

Passo 5

No entanto, a frequência calculada ( De) está abaixo da faixa fornecida de 2 KHz a 20 KHz. Isso significa que precisamos considerar o próximo múltiplo ímpar de f = 343,m/s0,8,m approx 428,75,Hz . Usando De:
f = 343,m/s0,48,m approx 714,58,Hz
Agora, calculamos a frequência correspondente:
lambda = 1,23,5 approx 0,342857,m
Ainda está abaixo de 2 KHz. Vamos para f = 3430,342857 approx 1000,Hz :
lambda = 1,24,5 approx 0,2667,m
Frequência:
f = 3430,2667 approx 1282,Hz
Ainda abaixo de 2 KHz. Continuamos:
Para lambda = 1,25,5 approx 0,2182,m :
f = 3430,2182 approx 1572,Hz
lambda = 1,26,5 approx 0,1846,m
Agora, f = 3430,1846 approx 1858,Hz está dentro da faixa de 2 KHz a 20 KHz?
Não, pois 1000 Hz é igual a 1 KHz. Ainda abaixo.
Para lambda = 1,27,5 = 0,16,m :
f = 3430,16 approx 2143,Hz
Ainda abaixo de 2 KHz.
Para :
Ainda abaixo.
Para :
Quase chegando na faixa!
Para :
Agora, está acima de 2 KHz e dentro da faixa de 2 KHz a 20 KHz. Portanto, essa é a menor frequência dentro do intervalo que causa a maior interferência destrutiva.

Resposta

A menor frequência para a qual ocorre a maior interferência destrutiva é aproximadamente 2143 Hz.

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