Dois alto-falantes são colocados à uma distância de 3,00 m um do outro, em um auditório. Um detector é também colocado à 20,0 m de um dos alto-falantes e 21,2 m do outro. Um gerador de sinal (onda) é ligado aos alto-falantes gerando ondas em fase na faixa de 2 KHz a 20 KHz . Qual a mais alta nota para a qual ocorre a maior interferência destrutiva?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois alto-falantes separados por 3 metros e um detector posicionado a 20 metros de um deles e a 21,2 metros do outro. A gente vai trabalhar com ondas sonoras na faixa de 2 KHz a 20 KHz. O objetivo é encontrar a mais alta frequência (ou nota) que provoca a maior interferência destrutiva nesse sistema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre interferência de ondas e como as frequências estão relacionadas ao comprimento de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a diferença de distância que as ondas percorrem até chegar no detector. Isso é importante porque a interferência destrutiva acontece quando essa diferença de caminho corresponde a um certo múltiplo do comprimento de onda.
A diferença de caminho é:
De

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que para ocorrer interferência destrutiva, a diferença de caminho ( De) deve ser igual a um múltiplo ímpar de metade do comprimento de onda ( ). A fórmula para isso é:
Onde é um número inteiro (0, 1, 2, …).

Passo 4

Vamos isolar o comprimento de onda ( lambda = 2 times De) na equação:

Passo 5

Sabendo que a velocidade do som ( v = f times lambda implies lambda = vf ) no ar é aproximadamente vf = 2,42n + 1 implies f = v times (2n + 1)2,4 , podemos relacionar o comprimento de onda com a frequência ( ) usando a fórmula:
Substituindo na equação anterior:

Passo 6

Vamos substituir os valores na equação para encontrar a frequência:
f = 343 , m/s times (2n + 1)2,4 , m approx 143 times (2n + 1) , Hz
Queremos que essa frequência esteja na faixa de até 20 KHz, então:
143 times (2n + 1) <= 20000
Resolvendo para 2n + 1 <= 20000143 approx 139,86 implies 2n <= 138,86 implies n <= 69,43 :
Como deve ser inteiro, o valor máximo de é 69.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a maior frequência possível usando f = 143 times (2 times 69 + 1) = 143 times 139 = 19,877 , Hz :
Arredondando, temos aproximadamente 19,9 KHz.

Resposta

A mais alta nota que provoca a maior interferência destrutiva é de aproximadamente 19,9 kHz.

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