Em quantos pontos em uma linha reta entre os alto-falantes haverá interferência totalmente construtiva das ondas emitidas por eles? Quais são esses pontos?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre interferência construtiva de ondas emitidas por dois alto-falantes colocados em uma linha reta. O objetivo é descobrir em quantos pontos nessa linha os sons se combinam de forma totalmente construtiva e quais são esses pontos. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de ondas e interferência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é interferência construtiva. Isso ocorre quando duas ondas se encontram de tal forma que seus picos (altas amplitudes) coincidem com os picos da outra onda, e os vales coincidem com os vales. Quando isso acontece, as amplitudes das ondas se somam, resultando em uma onda com maior amplitude.

Passo 3

Para que haja interferência construtiva, a diferença de caminho percorrido pelas ondas provenientes dos dois alto-falantes deve ser um múltiplo inteiro do comprimento de onda ( De) das ondas sonoras emitidas. Matematicamente, isso é representado por:
onde:
  • é a diferença de caminho,
  • é um número inteiro (0, 1, 2, 3, …),
  • é o comprimento de onda.

Passo 4

Vamos supor que os alto-falantes estão separados por uma distância e que estão emitindo ondas com comprimento de onda . Queremos encontrar os pontos ao longo da linha que liga os alto-falantes onde a interferência é construtiva.

Passo 5

Considere um ponto De a uma distância |d - 2x| = n lambda de um dos alto-falantes. A diferença de caminho entre as ondas que chegam a esse ponto de cada alto-falante será:
Queremos que essa diferença seja igual a um múltiplo inteiro de :

Passo 6

Resolvendo para d - 2x = n lambda Rightarrow 2x = d - n lambda Rightarrow x = d - n lambda2 :

Passo 7

Os valores de 0 <= d - n lambda2 <= d devem ser escolhidos de forma que d - n lambda2 >= 0 Rightarrow d - n lambda >= 0 Rightarrow n <= dlambda esteja entre 0 e d - n lambda2 <= d Rightarrow d - n lambda <= 2d Rightarrow -n lambda <= d Rightarrow n >= -dlambda , ou seja:
Resolvendo as desigualdades:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Como é um número inteiro positivo, consideramos apenas até , onde representa a parte inteira.

Passo 8

Portanto, o número de pontos de interferência construtiva é igual ao maior valor inteiro de xn = d - n lambda2 para cada n = 0, 1, 2, ldots, lfloor dlambda rfloor que satisfaz . E os pontos específicos são dados por:

Resposta

Existe um total de xn = d - n lambda2 para cada n = 0, 1, 2, ldots, lfloor dlambda rfloor pontos na linha entre os alto-falantes onde ocorre interferência totalmente construtiva das ondas emitidas. Esses pontos estão localizados em:

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