Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O fabricante do primeiro analgésico afirma que seu produto tem ação mais intensa e mais rápida do que o segundo analgésico. Em que instante a diferença entre os efeitos dos dois é mínima?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois analgésicos de marcas diferentes e quer saber em que momento a diferença entre os efeitos deles é a menor. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente derivadas, porque vamos encontrar o ponto onde a diferença entre as funções de eficácia dos analgésicos é mínima. Para resolver isso, vamos precisar saber como representar essa diferença e como encontrar o mínimo usando derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as funções de eficácia dos dois analgésicos. Vamos chamar a eficácia do primeiro analgésico de e a do segundo de , onde é o tempo. A diferença entre os efeitos é .

Passo 3

Queremos encontrar o instante em que essa diferença é mínima. Para isso, vamos usar o conceito de mínimo de uma função, que acontece onde a derivada da função é igual a zero e a segunda derivada é positiva.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 6

Resolvendo essa equação, encontramos o instante em que as taxas de variação das eficácias dos dois analgésicos são iguais. Esse é o ponto onde a diferença entre os efeitos começa a diminuir ou aumentar.

Passo 7

Para confirmar que esse ponto é um mínimo, verificamos a segunda derivada:
Se , então temos um mínimo.

Resposta

A diferença entre os efeitos dos dois analgésicos é mínima no instante onde e .

Exercícios relacionados

Em um laboratório farmacêutico, conclui-se que um modelo bastante realista para descrever a relação entre pressão sanguínea (sistólica) e a quantidade de um novo medicamento que é administrado para reduzir a pressão sistólica é dado por . é medido em milímetros de mercúrio, e á quantidade, em miligramas, do medicamento administrado 30 minutos antes da leitura de . é a pressão antes de o paciente tomar o medicamento e varia de um paciente para outro. De modo geral, porém, pode-se supor que . Determine a quantidade mínima da droga a ser administrada e que ainda faça efeito;
Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. A que horas o primeiro analgésico proporcionará um alívio máximo?
Calcule o quociente das diferenças para a função dada:
Encontre o domínio da função: