Dois analgésicos de marcas distintas estão sendo testados para verificar se são eficientes. A eficácia de cada um pode ser expressa em função do tempo. O fabricante do primeiro analgésico afirma que seu produto tem ação mais intensa e mais rápida do que o segundo analgésico. Em que instante a diferença entre os efeitos dos dois é mínima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois analgésicos de marcas diferentes e quer saber em que momento a diferença entre os efeitos deles é a menor. A matéria envolvida aqui é cálculo, mais especificamente derivadas, porque vamos encontrar o ponto onde a diferença entre as funções de eficácia dos analgésicos é mínima. Para resolver isso, vamos precisar saber como representar essa diferença e como encontrar o mínimo usando derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as funções de eficácia dos dois analgésicos. Vamos chamar a eficácia do primeiro analgésico de
e a do segundo de
, onde
é o tempo. A diferença entre os efeitos é
.
Passo 3
Queremos encontrar o instante
em que essa diferença
é mínima. Para isso, vamos usar o conceito de mínimo de uma função, que acontece onde a derivada da função é igual a zero e a segunda derivada é positiva.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 6
Resolvendo essa equação, encontramos o instante
em que as taxas de variação das eficácias dos dois analgésicos são iguais. Esse é o ponto onde a diferença entre os efeitos começa a diminuir ou aumentar.
Passo 7
Para confirmar que esse ponto é um mínimo, verificamos a segunda derivada:
Se
, então temos um mínimo.
Resposta
A diferença entre os efeitos dos dois analgésicos é mínima no instante
onde
e
.