Em um laboratório farmacêutico, conclui-se que um modelo bastante realista para descrever a relação entre pressão sanguínea (sistólica) e a quantidade de um novo medicamento que é administrado para reduzir a pressão sistólica é dado por P(x)=P i+2 x-x^2. P é medido em milímetros de mercúrio, e x á quantidade, em miligramas, do medicamento administrado 30 minutos antes da leitura de P. P i é a pressão antes de o paciente tomar o medicamento e varia de um paciente para outro. De modo geral, porém, pode-se supor que 200 <= P i <= 220. Determine a quantidade mínima da droga a ser administrada e que ainda faça efeito;

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função que relaciona a pressão sanguínea sistólica P(x) com a quantidade do medicamento administrado x. Queremos descobrir qual é a quantidade mínima desse medicamento que ainda reduz a pressão sanguínea. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função P(x) se comporta e encontrar o valor de x que faz com que P(x) seja menor que a pressão inicial .

Passo 2

A função que descreve a pressão sanguínea é dada por:
Aqui, é a pressão antes de tomar o medicamento, que varia entre 200 e 220 mmHg.

Passo 3

Queremos que o medicamento tenha efeito, ou seja, a pressão após a administração deve ser menor que a pressão inicial:
Substituindo a função:

Passo 4

Vamos simplificar essa desigualdade subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:

Passo 5

Para resolver a inequação , vamos analisar os intervalos onde o produto é negativo. Os pontos críticos são x = 0 e x = 2.
  • Para : Não faz sentido no contexto, já que a quantidade de medicamento não pode ser negativa.
  • Para : O produto é positivo.
  • Para x > 2: O produto é negativo.

Passo 6

Portanto, o medicamento só fará efeito quando x > 2 mg, pois nesse intervalo a pressão sanguínea será menor que a inicial.

Resposta

A quantidade mínima do medicamento a ser administrada que ainda faz efeito é qualquer valor maior que mg.

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