Quando dois automóveis movem-se uniformemente em sentidos contrários sobre uma estrada retilínea, eles se aproximam a cada décimo de segundo. Quando se deslocam no mesmo sentido, com as mesmas velocidades originais, aproximam-se a cada segundo. Calcule as velocidades originais destes automóveis. Resp.
e .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros que estão se movendo em uma estrada reta. Primeiro, eles estão indo em direções opostas e se aproximam a 9,0 metros a cada décimo de segundo. Depois, eles passam a se mover no mesmo sentido, mantendo as mesmas velocidades originais, e nessa situação, se aproximam a 10 metros por segundo. Nosso objetivo é descobrir quais são as velocidades originais desses dois carros.
Estamos lidando com o conceito de velocidade relativa, que é a velocidade de um objeto em relação a outro. Vamos precisar usar esse conceito para montar equações que nos ajudarão a encontrar as velocidades de cada carro.

Passo 2

Vamos começar atribuindo variáveis para as velocidades dos carros:
  • Seja a velocidade do primeiro carro.
  • Seja a velocidade do segundo carro.
Como eles estão se movendo em sentidos opostos inicialmente, a velocidade relativa entre eles é a soma das velocidades individuais. Quando eles passam a se mover no mesmo sentido, a velocidade relativa é a diferença das velocidades.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar quando os carros estão se movendo em sentidos opostos. A velocidade relativa é dada por:
Segundo a questão, eles se aproximam a 9,0 metros a cada décimo de segundo. Isso significa que a velocidade relativa é:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos analisar quando os carros estão se movendo no mesmo sentido. A velocidade relativa é dada por:
De acordo com a questão, eles se aproximam a 10 metros por segundo. Então:
Como estamos procurando velocidades positivas e sem perda de generalidade, podemos assumir que . Assim, a equação fica:

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos somar as duas equações para eliminar :

Passo 6

Com o valor de , podemos encontrar usando a primeira equação:

Resposta

As velocidades originais dos automóveis são e .

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