Quando dois automóveis movem-se uniformemente em sentidos contrários sobre uma estrada retilínea, eles se aproximam
a cada décimo de segundo. Quando se deslocam no mesmo sentido, com as mesmas velocidades originais, aproximam-se
a cada segundo. Calcule as velocidades originais destes automóveis. Resp.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois carros que estão se movendo em uma estrada reta. Primeiro, eles estão indo em direções opostas e se aproximam a 9,0 metros a cada décimo de segundo. Depois, eles passam a se mover no mesmo sentido, mantendo as mesmas velocidades originais, e nessa situação, se aproximam a 10 metros por segundo. Nosso objetivo é descobrir quais são as velocidades originais desses dois carros.
Estamos lidando com o conceito de velocidade relativa, que é a velocidade de um objeto em relação a outro. Vamos precisar usar esse conceito para montar equações que nos ajudarão a encontrar as velocidades de cada carro.
Passo 2
Vamos começar atribuindo variáveis para as velocidades dos carros:
- Seja
a velocidade do primeiro carro. - Seja
a velocidade do segundo carro.
Como eles estão se movendo em sentidos opostos inicialmente, a velocidade relativa entre eles é a soma das velocidades individuais. Quando eles passam a se mover no mesmo sentido, a velocidade relativa é a diferença das velocidades.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar quando os carros estão se movendo em sentidos opostos. A velocidade relativa
é dada por:
Segundo a questão, eles se aproximam a 9,0 metros a cada décimo de segundo. Isso significa que a velocidade relativa é:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos analisar quando os carros estão se movendo no mesmo sentido. A velocidade relativa
é dada por:
De acordo com a questão, eles se aproximam a 10 metros por segundo. Então:
Como estamos procurando velocidades positivas e sem perda de generalidade, podemos assumir que
. Assim, a equação fica:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 6
Com o valor de
, podemos encontrar
usando a primeira equação:
Resposta
As velocidades originais dos automóveis são
e
.