Dois blocos de massas m1=12 kg e m2=6 kg estão ligados por um fio inextensível e de massa desprezível e deslizam em um plano inclinado de um ângulo theta=30^circ. Os coeficientes de atrito cinético entre o bloco de massa m1 e o plano e entre o bloco de massa m2 e o plano são dados por mu1=0.2 e mu2=0.4, respectivamente. Adote g=10 m / s^2 para o módulo da aceleração da gravidade local. Calcule a tensão na corda.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos dois blocos, um com massa de 12, kg e outro de 6, kg, ligados por um fio que não estica e que não tem massa. Eles estão deslizando em um plano inclinado de 30^circ. Os coeficientes de atrito cinético são mu1=0.2 para o bloco de 12, kg e mu2=0.4 para o de 6, kg. Precisamos calcular a tensão no fio que os conecta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças, atrito e as Leis de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças atuando em cada bloco. Para isso, imaginamos cada bloco separado e desenhamos um diagrama de forças para cada um.
Para o bloco de 12, kg:
  • Peso ( P1): A força da gravidade puxando o bloco para baixo, P1 = m1 cdot g.
  • Força normal ( N1): Perpendicular ao plano inclinado.
  • Tensão ( T): No fio, puxando o bloco para cima ao longo do plano.
  • Força de atrito ( f1): O atrito que resiste ao movimento, calculado por f1 = mu1 cdot N1.
Para o bloco de 6, kg:
  • Peso ( P2): P2 = m2 cdot g.
  • Força normal ( N2): Perpendicular ao plano inclinado.
  • Tensão ( T): No fio, puxando o bloco para cima ao longo do plano.
  • Força de atrito ( f2): f2 = mu2 cdot N2.

Passo 3

Agora, vamos calcular as forças normais para cada bloco. A força normal é a componente do peso perpendicular ao plano inclinado.
Para o bloco de 12, kg:
N1 = P1 cdot cos(theta) = m1 cdot g cdot cos(30^circ)
Para o bloco de 6, kg:
N2 = P2 cdot cos(theta) = m2 cdot g cdot cos(30^circ)

Passo 4

Em seguida, calculamos as forças de atrito para cada bloco usando os coeficientes de atrito:
Para o bloco de 12, kg:
f1 = mu1 cdot N1 = 0.2 cdot m1 cdot g cdot cos(30^circ)
Para o bloco de 6, kg:
f2 = mu2 cdot N2 = 0.4 cdot m2 cdot g cdot cos(30^circ)

Passo 5

Agora, aplicamos a segunda Lei de Newton para cada bloco, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ( F = m cdot a).
Para o bloco de 12, kg:
m1 cdot a = T - m1 cdot g cdot sin(30^circ) - f1
Para o bloco de 6, kg:
m2 cdot a = m2 cdot g cdot sin(30^circ) - T - f2

Passo 6

Agora, somamos as duas equações para eliminar a tensão T e resolver para a aceleração a:
m1 cdot a + m2 cdot a = m2 cdot g cdot sin(30^circ) - m1 cdot g cdot sin(30^circ) - f1 - f2
Fatorando a:
a cdot (m1 + m2) = g cdot sin(30^circ) cdot (m2 - m1) - (f1 + f2)
Resolvendo para a:
a = g cdot sin(30^circ) cdot (m2 - m1) - (f1 + f2)m1 + m2

Passo 7

Substituímos os valores numéricos:
Primeiro, calculamos N1 e N2:
N1 = 12 cdot 10 cdot cos(30^circ) approx 12 cdot 10 cdot 0.866 = 103.92, N
N2 = 6 cdot 10 cdot cos(30^circ) approx 6 cdot 10 cdot 0.866 = 51.96, N
Agora, calculamos f1 e f2:
f1 = 0.2 cdot 103.92 approx 20.78, N
f2 = 0.4 cdot 51.96 approx 20.78, N
Agora, substituímos na equação da aceleração:
a = 10 cdot 0.5 cdot (6 - 12) - (20.78 + 20.78)12 + 6 = 10 cdot 0.5 cdot (-6) - 41.5618 = -30 - 41.5618 = -71.5618 approx -3.98, m/s^2
O sinal negativo indica que a aceleração está na direção oposta ao que consideramos inicialmente.

Passo 8

Agora, usamos a aceleração para encontrar a tensão T. Vamos usar a equação para o bloco de 12, kg:
12 cdot (-3.98) = T - 12 cdot 10 cdot sin(30^circ) - 20.78
-47.76 = T - 60 - 20.78
-47.76 = T - 80.78
T = -47.76 + 80.78 = 33.02, N

Resposta

A tensão na corda é aproximadamente 33, N.

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