Dois blocos de massas m1=12 kg e m2=6 kg estão ligados por um fio inextensível e de massa desprezível e deslizam em um plano inclinado de um ângulo theta=30^circ. Os coeficientes de atrito cinético entre o bloco de massa m1 e o plano e entre o bloco de massa m2 e o plano são dados por mu1=0.2 e mu2=0.4, respectivamente. Adote g=10 m / s^2 para o módulo da aceleração da gravidade local. O que ocorreria se a posição dos blocos fosse invertida, isto é, se o bloco de m1 estivesse acima do bloco de massa m2? Qual seria a aceleração dos blocos nesse caso?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois blocos, um de 12 kg ( m1) e outro de 6 kg ( m2), ligados por um fio que não estica e sem massa. Eles estão deslizando em um plano inclinado de 30 graus ( theta = 30^circ). Os coeficientes de atrito cinético são 0,2 para m1 ( mu1 = 0.2) e 0,4 para m2 ( mu2 = 0.4). A gravidade é g = 10 , m/s^2. A pergunta é: o que acontece se a posição dos blocos for invertida (ou seja, m1 fica acima de m2)? E qual seria a aceleração deles nessa nova posição?
Vamos usar conceitos de forças em planos inclinados e atrito para descobrir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam em cada bloco quando eles estão na nova posição ( m1 acima de m2).
Para cada bloco, teremos:
  1. Peso ( P): A força da gravidade puxando o bloco para baixo.
  2. Componente do peso paralela ao plano ( Pparal<=l): Faz o bloco deslizar para baixo do plano.
  3. Força de atrito ( f): Resiste ao movimento, dirigida para cima do plano.
  4. Tensão no fio ( T): Puxa o bloco na direção oposta ao movimento relativo do outro bloco.
Vamos calcular essas forças para cada bloco.

Passo 3

Vamos calcular para m1 = 12 , kg:
  1. Peso ( P1):
    P1 = m1 cdot g = 12 , kg cdot 10 , m/s^2 = 120 , N
  2. Componente paralela ao plano ( P1paral<=l):
    P1paral<=l = P1 cdot sin(theta) = 120 , N cdot sin(30^circ) = 120 , N cdot 0.5 = 60 , N
  3. Força de atrito ( f1):
    f1 = mu1 cdot N1
    Onde N1 é a força normal:
    N1 = P1 cdot cos(theta) = 120 , N cdot cos(30^circ) approx 120 , N cdot 0.866 = 103.92 , N
    Então:
    f1 = 0.2 cdot 103.92 , N approx 20.78 , N

Passo 4

Agora, para m2 = 6 , kg:
  1. Peso ( P2):
    P2 = m2 cdot g = 6 , kg cdot 10 , m/s^2 = 60 , N
  2. Componente paralela ao plano ( P2paral<=l):
    P2paral<=l = P2 cdot sin(theta) = 60 , N cdot sin(30^circ) = 60 , N cdot 0.5 = 30 , N
  3. Força de atrito ( f2):
    f2 = mu2 cdot N2
    Onde N2 é a força normal:
    N2 = P2 cdot cos(theta) = 60 , N cdot cos(30^circ) approx 60 , N cdot 0.866 = 51.96 , N
    Então:
    f2 = 0.4 cdot 51.96 , N approx 20.78 , N

Passo 5

Agora, vamos analisar o movimento dos blocos. Como eles estão ligados por um fio inextensível, a aceleração será a mesma para ambos. Precisamos considerar as forças que causam a aceleração.
Vamos assumir que m1 tende a deslizar para baixo do plano e m2 para cima (já que m1 está puxando m2).
Aplicando a segunda lei de Newton ( F = m cdot a) para cada bloco:
Para m1:
P1paral<=l - f1 - T = m1 cdot a
Para m2:
T - P2paral<=l - f2 = m2 cdot a

Passo 6

Temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( T e a). Vamos resolver esse sistema para encontrar a aceleração a.
Primeiro, escrevemos as equações:
  1. 60 , N - 20.78 , N - T = 12 , kg cdot a
  2. T - 30 , N - 20.78 , N = 6 , kg cdot a
Simplificando:
  1. 39.22 , N - T = 12a  →  T = 39.22 , N - 12a
  2. T - 50.78 , N = 6a

Passo 7

Substituímos T da primeira equação na segunda:
39.22 , N - 12a - 50.78 , N = 6a
Simplificando:
-11.56 , N - 12a = 6a
Somando 12a em ambos os lados:
-11.56 , N = 18a

Passo 8

Agora, isolamos a:
a = -11.56 , N18 approx -0.642 , m/s^2
O sinal negativo indica que a direção assumida inicialmente está invertida. Ou seja, na verdade, m2 está puxando m1 para cima, e a aceleração real é de 0.642 , m/s^2 descendente para m1.

Resposta

Quando a posição dos blocos é invertida ( m1 acima de m2), a aceleração dos blocos é de aproximadamente 0,642 , m/s^2 descendo pelo plano inclinado.

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