A partir do conceito de trabalho realizado por uma força sobre uma partícula de massa
entre dois pontos fixos do espaço de definição do problema físico, faça o que é solicitado:
a) Mostre que se a força resultante,
, é dada por
, a energia mecânica é conservada (
é uma constante positiva, a constante da mola). Se a força resultante for
constante positiva), a energia mecânica continua sendo conservada? Justifique. (1,5)
b) Mostre que se a força
for constante, o trabalho realizado pela partícula é independente do caminho. (1,0)
c) Verdadeiro ou falso (com demonstração ou contra-exemplo)
i) Se a força resultante for unidimensional, dependente apenas da posição
, isto é, se
trabalho realizado pela força é conservativo (1,0)
ii) o trabalho realizado pela força
constante
, entre os pontos inicial e final
e ( 1,1 ), respectivamente, é conservativo. (1,0)
a) Mostre que se a força resultante,
b) Mostre que se a força
c) Verdadeiro ou falso (com demonstração ou contra-exemplo)
i) Se a força resultante for unidimensional, dependente apenas da posição
ii) o trabalho realizado pela força
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício está falando sobre o trabalho realizado por uma força em uma partícula e como isso se relaciona com a conservação da energia mecânica. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica, como força conservativa, energia potencial, e entender quando a energia mecânica é ou não conservada. Bora lá resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
a) Primeira parte: Mostrar que se a força resultante é
, a energia mecânica é conservada.
Primeiro, vamos lembrar que uma força é conservativa se ela pode ser derivada de uma energia potencial, ou seja,
. No nosso caso, a força é unidimensional e depende apenas de
:
.
Vamos encontrar a energia potencial
:
Integrando em relação a
:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Como conseguimos associar a força a uma energia potencial, isso significa que a energia mecânica (que é a soma da energia cinética e potencial) é conservada.
Passo 3
a) Segunda parte: Se a força resultante for
, a energia mecânica continua sendo conservada?
Agora temos uma força a mais:
, que é proporcional à velocidade
e atua na direção
. Esse termo representa uma força dissipativa ou força de atrito viscoso, que faz com que a energia seja dissipada, por exemplo, em forma de calor.
Como essa força depende da velocidade e faz trabalho que não pode ser recuperado, a energia mecânica não é mais conservada.
Passo 4
b) Mostrar que se a força
for constante, o trabalho realizado pela partícula é independente do caminho.
Quando a força é constante, o trabalho realizado por ela ao mover uma partícula de um ponto
para um ponto
depende apenas da posição inicial e final, e não de como a partícula se move entre esses pontos.
Matematicamente, o trabalho
é dado por:
Como
é constante, esse resultado não depende do caminho seguido, mas apenas das diferenças nas coordenadas finais e iniciais.
Passo 5
c) Verdadeiro ou falso
i) Se a força resultante for unidimensional, dependente apenas da posição
, isto é, se
, o trabalho realizado pela força é conservativo.
Verdadeiro. Se a força depende apenas da posição e pode ser derivada de uma energia potencial (isto é,
), então ela é conservativa, e o trabalho realizado depende apenas das posições inicial e final, não do caminho.
ii) O trabalho realizado pela força
, entre os pontos inicial e final
e
, respectivamente, é conservativo.
Falso. A força
varia com a posição
na direção
, mas para ser conservativa, a força deve ser derivada de uma energia potencial que depende de todas as componentes do deslocamento. Além disso, se calcularmos o trabalho ao redor de um caminho fechado, perceberemos que não é zero, o que indica que a força não é conservativa.
Resposta
a) A energia mecânica é conservada quando
, mas não é conservada quando
.
b) Se a força é constante, o trabalho realizado é independente do caminho.
c)
i) Verdadeiro.
ii) Falso.
i) Verdadeiro.
ii) Falso.