A partir do conceito de trabalho realizado por uma força sobre uma partícula de massa m entre dois pontos fixos do espaço de definição do problema físico, faça o que é solicitado:
a) Mostre que se a força resultante, F, é dada por F=-k x imath, a energia mecânica é conservada ( k é uma constante positiva, a constante da mola). Se a força resultante for F=-k x imath+rho dotx imath(dotx= d xd t e rho constante positiva), a energia mecânica continua sendo conservada? Justifique. (1,5)
b) Mostre que se a força F=(Fx, Fy, Fz) for constante, o trabalho realizado pela partícula é independente do caminho. (1,0)
c) Verdadeiro ou falso (com demonstração ou contra-exemplo)
i) Se a força resultante for unidimensional, dependente apenas da posição x, isto é, se F=F(x) imath, o trabalho realizado pela força é conservativo (1,0)
ii) o trabalho realizado pela força F=C x jmath=(0, C x)(C constante ), entre os pontos inicial e final (0,0) e ( 1,1 ), respectivamente, é conservativo. (1,0)

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! O exercício está falando sobre o trabalho realizado por uma força em uma partícula e como isso se relaciona com a conservação da energia mecânica. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica, como força conservativa, energia potencial, e entender quando a energia mecânica é ou não conservada. Bora lá resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

a) Primeira parte: Mostrar que se a força resultante é F = -k x imath, a energia mecânica é conservada.
Primeiro, vamos lembrar que uma força é conservativa se ela pode ser derivada de uma energia potencial, ou seja, F = -nabla U. No nosso caso, a força é unidimensional e depende apenas de x: F = -k x imath.
Vamos encontrar a energia potencial U(x):
F = -dUdx imath Rightarrow -k x = -dUdx Rightarrow dUdx = k x
Integrando em relação a x:
U(x) = 12 k x^2 + C
Podemos escolher C = 0 para simplificar, então U(x) = 12 k x^2.
Como conseguimos associar a força a uma energia potencial, isso significa que a energia mecânica (que é a soma da energia cinética e potencial) é conservada.

Passo 3

a) Segunda parte: Se a força resultante for F = -k x imath + rho dotx imath, a energia mecânica continua sendo conservada?
Agora temos uma força a mais: rho dotx imath, que é proporcional à velocidade dotx e atua na direção imath. Esse termo representa uma força dissipativa ou força de atrito viscoso, que faz com que a energia seja dissipada, por exemplo, em forma de calor.
Como essa força depende da velocidade e faz trabalho que não pode ser recuperado, a energia mecânica não é mais conservada.

Passo 4

b) Mostrar que se a força F = (Fx, Fy, Fz) for constante, o trabalho realizado pela partícula é independente do caminho.
Quando a força é constante, o trabalho realizado por ela ao mover uma partícula de um ponto A para um ponto B depende apenas da posição inicial e final, e não de como a partícula se move entre esses pontos.
Matematicamente, o trabalho W é dado por:
W = F cdot d = Fx De
Como F é constante, esse resultado não depende do caminho seguido, mas apenas das diferenças nas coordenadas finais e iniciais.

Passo 5

c) Verdadeiro ou falso
i) Se a força resultante for unidimensional, dependente apenas da posição x, isto é, se F = F(x) imath, o trabalho realizado pela força é conservativo.
Verdadeiro. Se a força depende apenas da posição e pode ser derivada de uma energia potencial (isto é, F = -dUdx imath), então ela é conservativa, e o trabalho realizado depende apenas das posições inicial e final, não do caminho.
ii) O trabalho realizado pela força F = C x jmath, entre os pontos inicial e final (0,0) e (1,1), respectivamente, é conservativo.
Falso. A força F = C x jmath varia com a posição x na direção y, mas para ser conservativa, a força deve ser derivada de uma energia potencial que depende de todas as componentes do deslocamento. Além disso, se calcularmos o trabalho ao redor de um caminho fechado, perceberemos que não é zero, o que indica que a força não é conservativa.

Resposta

a) A energia mecânica é conservada quando F = -k x imath, mas não é conservada quando F = -k x imath + rho dotx imath.
b) Se a força é constante, o trabalho realizado é independente do caminho.
c)
i) Verdadeiro.
ii) Falso.

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