Dois blocos, um sobre uma mesa de massa m1 e outro pendurado com massa m2, estão ligados por uma corda de massa desprezível, que passa por uma polia cilíndrica de raio R e massa M (veja Figura 1). A corda não desliza sobre a polia; não há atrito entre o bloco e a mesa e não há atrito no eixo da polia. Considere a aceleração da gravidade g.
Quais as tensões na parte superior e inferior da corda ( 1,5 ponto)?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois blocos: um com massa $ m_1 $ sobre uma mesa e outro com massa $ m_2 $ pendurado, ligados por uma corda que passa por uma polia cilíndrica de raio $ R $ e massa $ M $. A corda não desliza na polia, não tem atrito na mesa nem no eixo da polia, e a gravidade é $ g $. A gente quer descobrir quais são as tensões na parte superior e inferior da corda. Para resolver isso, vamos usar as Leis de Newton para movimentos linear e rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada bloco e na polia. No bloco $ m_1 $, temos a tensão $ T_1 $ puxando para a direita. No bloco $ m_2 $, temos o peso $ m_2g $ puxando para baixo e a tensão $ T_2 $ puxando para cima. Na polia, a diferença entre as tensões $ T_1 $ e $ T_2 $ causa um torque que faz a polia girar.

Passo 3

Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para o bloco $ m_1 $. A força resultante é $ T_1 $, que causa uma aceleração $ a $ para a direita:
m1

Passo 4

Agora, para o bloco $ m_2 $, a força resultante é $ m_2g - T_2 $, que causa uma aceleração $ a $ para baixo:
m2

Passo 5

Para a polia, vamos considerar o torque causado pela diferença de tensão. O torque total $ \tau $ na polia é:
tau
Esse torque causa uma aceleração angular $ \alpha $ na polia. Sabemos que $ \alpha = \frac{a}{R} $ e o momento de inércia para uma polia cilíndrica é $ I = \frac{1}{2} M R^2 $. Aplicando a Segunda Lei de Newton para rotação:
tau = (T1 - T2) R
Simplificando:
alpha

Passo 6

Agora temos três equações:
  1. $ T_1 = m_1 a $
  2. $ m_2 g - T_2 = m_2 a $
  3. $ T_1 - T_2 = \frac{1}{2} M a $
Vamos substituir $ T_1 $ da equação (1) na equação (3):
T1 = m1 a

Passo 7

Agora, substituímos $ T_2 $ da equação (4) na equação (2):
T2
Resolvendo para $ a $:
m2 g - ( ( m1 - 12 M ) a ) = m2 a
a
m2 g = m2 a + ( m1 - 12 M ) a

Passo 8

Agora que temos a aceleração $ a $, podemos encontrar as tensões $ T_1 $ e $ T_2 $.
Primeiro, $ T_1 $ usando a equação (1):
a
Segundo, $ T_2 $ usando a equação (4):
T1

Resposta

As tensões na corda são:
T1 = m1 m2 gm1 + m2 - 12 M
e
T2 = ( m1 - 12 M ) m2 gm1 + m2 - 12 M

Exercícios relacionados