Dois blocos, um sobre uma mesa de massa
e outro pendurado com massa
, estão ligados por uma corda de massa desprezível, que passa por uma polia cilíndrica de raio
e massa
(veja Figura 1). A corda não desliza sobre a polia; não há atrito entre o bloco e a mesa e não há atrito no eixo da polia. Considere a aceleração da gravidade
.
Quais as tensões na parte superior e inferior da corda ( 1,5 ponto)?
Quais as tensões na parte superior e inferior da corda ( 1,5 ponto)?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois blocos: um com massa $ m_1 $ sobre uma mesa e outro com massa $ m_2 $ pendurado, ligados por uma corda que passa por uma polia cilíndrica de raio $ R $ e massa $ M $. A corda não desliza na polia, não tem atrito na mesa nem no eixo da polia, e a gravidade é $ g $. A gente quer descobrir quais são as tensões na parte superior e inferior da corda. Para resolver isso, vamos usar as Leis de Newton para movimentos linear e rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as forças atuando em cada bloco e na polia. No bloco $ m_1 $, temos a tensão $ T_1 $ puxando para a direita. No bloco $ m_2 $, temos o peso $ m_2g $ puxando para baixo e a tensão $ T_2 $ puxando para cima. Na polia, a diferença entre as tensões $ T_1 $ e $ T_2 $ causa um torque que faz a polia girar.
Passo 3
Vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para o bloco $ m_1 $. A força resultante é $ T_1 $, que causa uma aceleração $ a $ para a direita:
Passo 4
Agora, para o bloco $ m_2 $, a força resultante é $ m_2g - T_2 $, que causa uma aceleração $ a $ para baixo:
Passo 5
Para a polia, vamos considerar o torque causado pela diferença de tensão. O torque total $ \tau $ na polia é:
Esse torque causa uma aceleração angular $ \alpha $ na polia. Sabemos que $ \alpha = \frac{a}{R} $ e o momento de inércia para uma polia cilíndrica é $ I = \frac{1}{2} M R^2 $. Aplicando a Segunda Lei de Newton para rotação:
Simplificando:
Passo 6
Agora temos três equações:
- $ T_1 = m_1 a $
- $ m_2 g - T_2 = m_2 a $
- $ T_1 - T_2 = \frac{1}{2} M a $
Vamos substituir $ T_1 $ da equação (1) na equação (3):
Passo 7
Agora, substituímos $ T_2 $ da equação (4) na equação (2):
Resolvendo para $ a $:
Passo 8
Agora que temos a aceleração $ a $, podemos encontrar as tensões $ T_1 $ e $ T_2 $.
Primeiro, $ T_1 $ usando a equação (1):
Segundo, $ T_2 $ usando a equação (4):
Resposta
As tensões na corda são:
e