Dois carros, um dirigindo-se para leste à velocidade (taxa) de
e outro dirigindo-se para o sul à velocidade de
estão direcionando-se para um cruzamento de duas avenidas. A que taxa os dois carros se aproximam um do outro, no instante em que o primeiro estiver a
do cruzamento e o segundo estiver a
do cruzamento?
(Resposta:
)
(Resposta:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois carros se aproximando de um cruzamento: um indo para o leste a 72 km/h e outro para o sul a 54 km/h. Queremos descobrir a que velocidade a distância entre eles está mudando quando o primeiro carro está a 400 metros do cruzamento e o segundo a 300 metros.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as velocidades de km/h para m/s, pois as distâncias estão em metros. A fórmula para converter é:
Passo 3
Convertendo as velocidades:
- Carro 1:
- Carro 2:
Passo 4
Vamos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar as distâncias dos carros ao cruzamento (
e
) com a distância entre eles (
):
Derivando em relação ao tempo
:
Simplificando:
Passo 5
Substituindo os valores:
-
-
-
(Carro 1 se aproximando) -
(Carro 2 se aproximando) - Calculamos
:
Então:
Resposta
A taxa de aproximação entre os dois carros é de
.
Exercícios relacionados
Responda aos itens detalhadamente.
Mostre que .
Mostre que
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da
no ponto de abscissa
.
Suponha que a produção semanal de uma fábrica seja
e que essa produção esteja relacionada com
horas de trabalho e
dólares de capital investido por
(Essa relação é um exemplo de uma função de produção de Cobb-Douglas). Encontre e interprete a taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem 512 e o capital investido for
.
(Resposta : )
(Resposta :
Suponha que, numa indústria de componentes eletrônicos, a demanda mensal para fones de ouvido seja dada por
, onde
é o preço em dólares por fone de ouvido e
é a demanda em milhares de unidades. Encontre a taxa de variação da demanda em relação ao preço quando 19 centenas de conjuntos são demandadas. Interprete o resultado.
(Resposta: )
(Resposta: