Suponha que, numa indústria de componentes eletrônicos, a demanda mensal para fones de ouvido seja dada por
, onde
é o preço em dólares por fone de ouvido e
é a demanda em milhares de unidades. Encontre a taxa de variação da demanda em relação ao preço quando 19 centenas de conjuntos são demandadas. Interprete o resultado.
(Resposta:
)
(Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma demanda mensal para fones de ouvido representada pela função
, onde
é o preço em dólares por fone e
é a demanda em milhares de unidades. O objetivo é encontrar a taxa de variação da demanda em relação ao preço quando são demandados 19 centenas de conjuntos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como uma variável muda em relação a outra. Precisaremos calcular a derivada da função de demanda em relação ao preço e então avaliar essa derivada no ponto específico dado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fórmula para facilitar o cálculo da derivada. A função dado é:
Queremos encontrar a taxa de variação da demanda (
) em relação ao preço (
), ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos primeiro encontrar
e depois usar a regra do inverso, que diz que
.
Vamos calcular
derivando a função
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do inverso:
Isso nos dá a taxa de variação da demanda em relação ao preço.
Passo 5
A questão pede para encontrar essa taxa quando 19 centenas de conjuntos são demandadas. Primeiro, convertamos isso para milhares de unidades, já que
está em milhares:
Então,
.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A taxa de variação da demanda em relação ao preço quando 19 centenas de conjuntos são demandadas é aproximadamente
.