Suponha que, numa indústria de componentes eletrônicos, a demanda mensal para fones de ouvido seja dada por
, onde
é o preço em dólares por fone de ouvido e
é a demanda em milhares de unidades. Encontre a taxa de variação da demanda em relação ao preço quando 19 centenas de conjuntos são demandadas. Interprete o resultado.
(Resposta:
)
(Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma demanda mensal para fones de ouvido representada pela função
, onde
é o preço em dólares por fone e
é a demanda em milhares de unidades. O objetivo é encontrar a taxa de variação da demanda em relação ao preço quando são demandados 19 centenas de conjuntos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como uma variável muda em relação a outra. Precisaremos calcular a derivada da função de demanda em relação ao preço e então avaliar essa derivada no ponto específico dado.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a fórmula para facilitar o cálculo da derivada. A função dado é:
Queremos encontrar a taxa de variação da demanda (
) em relação ao preço (
), ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos primeiro encontrar
e depois usar a regra do inverso, que diz que
.
Vamos calcular
derivando a função
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicando a regra do inverso:
Isso nos dá a taxa de variação da demanda em relação ao preço.
Passo 5
A questão pede para encontrar essa taxa quando 19 centenas de conjuntos são demandadas. Primeiro, convertamos isso para milhares de unidades, já que
está em milhares:
Então,
.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
:
Resposta
A taxa de variação da demanda em relação ao preço quando 19 centenas de conjuntos são demandadas é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Suponha que a produção semanal de uma fábrica seja
e que essa produção esteja relacionada com
horas de trabalho e
dólares de capital investido por
(Essa relação é um exemplo de uma função de produção de Cobb-Douglas). Encontre e interprete a taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem 512 e o capital investido for
.
(Resposta : )
(Resposta :
Dois carros, um dirigindo-se para leste à velocidade (taxa) de
e outro dirigindo-se para o sul à velocidade de
estão direcionando-se para um cruzamento de duas avenidas. A que taxa os dois carros se aproximam um do outro, no instante em que o primeiro estiver a
do cruzamento e o segundo estiver a
do cruzamento?
(Resposta: )
(Resposta:
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a partir de um ponto
. Cinco minutos depois uma mulher começa a correr para o sul a
a partir de um ponto que está a
a leste de P. A que taxa essas pessoas estão se separando 15 minutos depois da mulher começar a andar?
(Resposta: )
(Resposta:
Uma escada com
de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de
, quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é
rad?
(Resposta: )
(Resposta: