Suponha que, numa indústria de componentes eletrônicos, a demanda mensal para fones de ouvido seja dada por p = 10000 / (x + 1)², onde p é o preço em dólares por fone de ouvido e x é a demanda em milhares de unidades. Encontre a taxa de variação da demanda em relação ao preço quando 19 centenas de conjuntos são demandadas. Interprete o resultado.
(Resposta: -0,4 )

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma demanda mensal para fones de ouvido representada pela função , onde é o preço em dólares por fone e é a demanda em milhares de unidades. O objetivo é encontrar a taxa de variação da demanda em relação ao preço quando são demandados 19 centenas de conjuntos.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como uma variável muda em relação a outra. Precisaremos calcular a derivada da função de demanda em relação ao preço e então avaliar essa derivada no ponto específico dado.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a fórmula para facilitar o cálculo da derivada. A função dado é:
Queremos encontrar a taxa de variação da demanda ( ) em relação ao preço ( ), ou seja, .

Passo 3

Para encontrar , precisamos primeiro encontrar e depois usar a regra do inverso, que diz que .
Vamos calcular derivando a função em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando a regra do inverso:
Isso nos dá a taxa de variação da demanda em relação ao preço.

Passo 5

A questão pede para encontrar essa taxa quando 19 centenas de conjuntos são demandadas. Primeiro, convertamos isso para milhares de unidades, já que está em milhares:
Então, .

Passo 6

Substituindo na expressão de :

Resposta

A taxa de variação da demanda em relação ao preço quando 19 centenas de conjuntos são demandadas é aproximadamente .

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