Suponha que a produção semanal de uma fábrica seja
e que essa produção esteja relacionada com
horas de trabalho e
dólares de capital investido por
(Essa relação é um exemplo de uma função de produção de Cobb-Douglas). Encontre e interprete a taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem 512 e o capital investido for
.
(Resposta :
)
(Resposta :
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de produção da fábrica que relaciona a produção semanal, as horas de trabalho (
) e o capital investido (
). A equação dada é:
O conteúdo envolvido aqui é a função de produção de Cobb-Douglas, que é usada para entender como diferentes fatores, como trabalho e capital, afetam a produção. Vamos precisar usar diferenciação implícita para encontrar a taxa de variação do capital em relação às horas de trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. A equação original é:
Para simplificar, dividimos ambos os lados por 30:
Agora temos:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
usando diferenciação implícita.
A equação é:
Diferenciando ambos os lados com respeito a
:
Como a derivada de uma constante é zero, fica assim:
Passo 4
Usando a regra do produto para derivação, onde temos uma função multiplicando outra, a derivada fica:
Vamos calcular cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
usando a regra da cadeia:
Substituindo de volta na equação:
Passo 5
Agora, vamos isolar
. Primeiro, rearranjamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por
para isolar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores dados na questão:
horas e
dólares.
Substituindo na fórmula:
Resposta
A taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem
e o capital investido for
, é de
.