Suponha que a produção semanal de uma fábrica seja e que essa produção esteja relacionada com e que essa produção esteja relacionada com horas de trabalho e horas de trabalho e dólares de capital investido por
dólares de capital investido por
(Essa relação é um exemplo de uma função de produção de Cobb-Douglas). Encontre e interprete a taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem 512 e o capital investido for 384.000=30 x^1 / 3 y^2 / 3 .
(Resposta : (Essa relação é um exemplo de uma função de produção de Cobb-Douglas) Encontre e interprete a taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem 512 e o capital investido for )

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de produção da fábrica que relaciona a produção semanal, as horas de trabalho ( x) e o capital investido ( y). A equação dada é:
384.000 = 30 x^1/3 y^2/3
O conteúdo envolvido aqui é a função de produção de Cobb-Douglas, que é usada para entender como diferentes fatores, como trabalho e capital, afetam a produção. Vamos precisar usar diferenciação implícita para encontrar a taxa de variação do capital em relação às horas de trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. A equação original é:
30 x^1/3 y^2/3 = 384.000
Para simplificar, dividimos ambos os lados por 30:
x^1/3 y^2/3 = 384.00030 = 12.800
Agora temos:
x^1/3 y^2/3 = 12.800

Passo 3

Agora, queremos encontrar a taxa de variação de y em relação a x, ou seja, dydx. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x usando diferenciação implícita.
A equação é:
x^1/3 y^2/3 = 12.800
Diferenciando ambos os lados com respeito a x:
ddx(x^1/3 y^2/3) = ddx(12.800)
Como a derivada de uma constante é zero, fica assim:
ddx(x^1/3 y^2/3) = 0

Passo 4

Usando a regra do produto para derivação, onde temos uma função multiplicando outra, a derivada fica:
ddx(x^1/3) cdot y^2/3 + x^1/3 cdot ddx(y^2/3) = 0
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de x^1/3:
ddx(x^1/3) = 13x^-2/3
  1. Derivada de y^2/3 usando a regra da cadeia:
ddx(y^2/3) = 23y^-1/3 cdot dydx
Substituindo de volta na equação:
13x^-2/3 cdot y^2/3 + x^1/3 cdot 23y^-1/3 cdot dydx = 0

Passo 5

Agora, vamos isolar dydx. Primeiro, rearranjamos a equação:
23x^1/3 y^-1/3 cdot dydx = -13x^-2/3 y^2/3
Multiplicando ambos os lados por 32x^-1/3 y^1/3 para isolar dydx:
dydx = -12x^-1 y
Simplificando:
dydx = -y2x

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores dados na questão: x = 512 horas e y = 64.000 dólares.
Substituindo na fórmula:
dydx = -64.0002 cdot 512 = -64.0001.024 = -62,5

Resposta

A taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem 512 e o capital investido for , é de , é de .

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