Suponha que a produção semanal de uma fábrica seja e que essa produção esteja relacionada com horas de trabalho e dólares de capital investido por
(Essa relação é um exemplo de uma função de produção de Cobb-Douglas). Encontre e interprete a taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem 512 e o capital investido for .
(Resposta : )

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de produção da fábrica que relaciona a produção semanal, as horas de trabalho ( ) e o capital investido ( ). A equação dada é:
O conteúdo envolvido aqui é a função de produção de Cobb-Douglas, que é usada para entender como diferentes fatores, como trabalho e capital, afetam a produção. Vamos precisar usar diferenciação implícita para encontrar a taxa de variação do capital em relação às horas de trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. A equação original é:
Para simplificar, dividimos ambos os lados por 30:
Agora temos:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a taxa de variação de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a usando diferenciação implícita.
A equação é:
Diferenciando ambos os lados com respeito a :
Como a derivada de uma constante é zero, fica assim:

Passo 4

Usando a regra do produto para derivação, onde temos uma função multiplicando outra, a derivada fica:
Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de :
  1. Derivada de usando a regra da cadeia:
Substituindo de volta na equação:

Passo 5

Agora, vamos isolar . Primeiro, rearranjamos a equação:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores dados na questão: horas e dólares.
Substituindo na fórmula:

Resposta

A taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem e o capital investido for , é de .

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(Resposta: )
Responda aos itens detalhadamente.
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(Resposta: )
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(Resposta: )