Responda aos itens detalhadamente.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a derivada da função
em relação a
é igual a
, onde
está no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções inversas e regras de derivação básicas.
Passo 2
Vamos começar relacionando a função
com a função cosseno. Seja
. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a
. Lembre-se que ao diferenciar um lado em relação a
, precisamos usar a regra da cadeia no lado direito.
Isso resulta em:
Passo 4
Vamos isolar
na equação acima:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Como
, substituímos:
Portanto:
Passo 6
Substituindo
na expressão para
, temos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da
no ponto de abscissa
.
Responda aos itens detalhadamente.
Explique o que deve ser feito para que a função seja inversível. Em seguida, determine a função
tal que
é a inversa de
. Não se esqueça de apresentar os conjuntos domínio e imagem da função
.
Explique o que deve ser feito para que a função
Dois carros, um dirigindo-se para leste à velocidade (taxa) de
e outro dirigindo-se para o sul à velocidade de
estão direcionando-se para um cruzamento de duas avenidas. A que taxa os dois carros se aproximam um do outro, no instante em que o primeiro estiver a
do cruzamento e o segundo estiver a
do cruzamento?
(Resposta: )
(Resposta:
Suponha que a produção semanal de uma fábrica seja
e que essa produção esteja relacionada com
horas de trabalho e
dólares de capital investido por
(Essa relação é um exemplo de uma função de produção de Cobb-Douglas). Encontre e interprete a taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem 512 e o capital investido for
.
(Resposta : )
(Resposta :