Responda aos itens detalhadamente.
Mostre que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a derivada da função em relação a é igual a , onde está no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções inversas e regras de derivação básicas.

Passo 2

Vamos começar relacionando a função com a função cosseno. Seja . Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a . Lembre-se que ao diferenciar um lado em relação a , precisamos usar a regra da cadeia no lado direito.
Isso resulta em:

Passo 4

Vamos isolar na equação acima:

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de . Sabemos que:
Como , substituímos:
Portanto:

Passo 6

Substituindo na expressão para , temos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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Determine a equação da reta tangente ao gráfico da no ponto de abscissa .
Responda aos itens detalhadamente.
Explique o que deve ser feito para que a função seja inversível. Em seguida, determine a função tal que é a inversa de . Não se esqueça de apresentar os conjuntos domínio e imagem da função .
Dois carros, um dirigindo-se para leste à velocidade (taxa) de e outro dirigindo-se para o sul à velocidade de estão direcionando-se para um cruzamento de duas avenidas. A que taxa os dois carros se aproximam um do outro, no instante em que o primeiro estiver a do cruzamento e o segundo estiver a do cruzamento?
(Resposta: )
Suponha que a produção semanal de uma fábrica seja e que essa produção esteja relacionada com horas de trabalho e dólares de capital investido por
(Essa relação é um exemplo de uma função de produção de Cobb-Douglas). Encontre e interprete a taxa de variação do capital investido em relação às horas de trabalho, quando as horas de trabalho forem 512 e o capital investido for .
(Resposta : )