Responda aos itens detalhadamente.
Mostre que arccos(y)' = -1/raiz(1 - y^2), y ∈ (-1, 1).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a derivada da função em relação a y é igual a , onde y está no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções inversas e regras de derivação básicas.

Passo 2

Vamos começar relacionando a função com a função cosseno. Seja . Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a y. Lembre-se que ao diferenciar um lado em relação a y, precisamos usar a regra da cadeia no lado direito.
Isso resulta em:

Passo 4

Vamos isolar na equação acima:

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de y. Sabemos que:
Como , substituímos:
Portanto:

Passo 6

Substituindo na expressão para , temos:

Resposta

A derivada de em relação a y é:

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