Responda aos itens detalhadamente.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que a derivada da função
em relação a
é igual a
, onde
está no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada de funções inversas e regras de derivação básicas.
Passo 2
Vamos começar relacionando a função
com a função cosseno. Seja
. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a
. Lembre-se que ao diferenciar um lado em relação a
, precisamos usar a regra da cadeia no lado direito.
Isso resulta em:
Passo 4
Vamos isolar
na equação acima:
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Como
, substituímos:
Portanto:
Passo 6
Substituindo
na expressão para
, temos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: