Dois carros estão andando em uma pista circular com uma velocidade constante. Ambos os carros saem do ponto x=R, y=0 no mesmo instante, mas em direções opostas (ver figura). O velocímetro do carro A marca v m / s, enquanto o do carro B marca vB=v / 4. O raio da pista é R. Determine o vetor velocidade do carro A no instante da colisão.
Obs: A figura não está em escala
Escolha uma opção:
a. v simeq 0,75 v i-0,3 v j
b. v simeq 0,95 v i+0,3 v j
c. v simeq v j
d. v simeq v i
Limpar minha escolha

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo pedido aqui. Temos dois carros que começam do mesmo ponto em uma pista circular, mas vão em direções opostas. O carro A tem uma velocidade de metros por segundo, e o carro B tem uma velocidade de . Queremos descobrir qual é o vetor velocidade do carro A no exato momento em que eles se encontram (ou colidem).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Movimento Circular Uniforme, que envolve velocidade angular e vetores de velocidade. Vamos passo a passo para deixar tudo claro!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar quanto tempo leva para os dois carros se encontrarem novamente na pista. Como eles estão indo em direções opostas, suas velocidades angulares se somam.
A velocidade angular ( omega = vR ) é dada por:
omegaA = vR
onde omegaB = vBR = v4R = v4R é o raio da pista.
Então, para o carro A:
omegarel = omegaA + omegaB = vR + v4R = 5v4R
E para o carro B:
Como estão indo em direções opostas, a velocidade angular relativa é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo ( omegarel times t = 2pi Rightarrow t = 2piomegarel = 2pi5v4R = 8pi R5v ) que leva para eles se encontrarem novamente. Para isso, a soma das distâncias angulares percorridas deve ser igual a radianos (uma volta completa na pista).
Então, os dois carros se encontrarão após segundos.

Passo 4

Agora que sabemos o tempo até a colisão, vamos descobrir a posição angular do carro A nesse momento.
thetaA = omegaA times t = vR times 8pi R5v = 8pi5 radianos

Passo 5

O vetor velocidade em movimento circular é sempre tangente à trajetória. A direção desse vetor depende do ângulo v = -v sin(theta) i + v cos(theta) j em que o carro está no momento.
As componentes do vetor velocidade são dadas por:
sin(8pi5) = sin(2pi - 2pi5) = -sin(2pi5) approx -0.5878
Substituindo cos(8pi5) = cos(2pi - 2pi5) = cos(2pi5) approx 0.3090 :
v approx -v times (-0.5878) i + v times 0.3090 j = 0.5878v i + 0.3090v j
Então:

Passo 6

Aproximando os valores:
0.5878v approx 0.6v
0.3090v approx 0.3v
Portanto, o vetor velocidade do carro A no instante da colisão é aproximadamente:
v approx 0.6v i + 0.3v j
Comparando com as opções fornecidas, a que mais se aproxima desse resultado é a opção a. .

Resposta

A alternativa correta é a a. .

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