Um estudo demográfico modela a população P de uma comunidade (em milhares de habitantes) pela função
P(Q) = 3 Q^2 + 4 Q + 200
onde Q é um índice de qualidade de vida que varia de Q = 0 (qualidade extremamente baixa) a Q = 10 (quantidade excelente). Suponha que o índice varia com o tempo de tal forma que daqui a t anos,
Q(t) = (t^2 + 2t + 3) / (2t + 1)
para 0 <= t <= 10.
Qual será o valor do índice de qualidade de vida daqui a 4 anos? Qual será a população nesta ocasião?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre demografia! A gente precisa descobrir qual será o índice de qualidade de vida daqui a 4 anos e qual será a população dessa comunidade nesse momento. Vamos usar funções matemáticas para isso, então vamos precisar calcular valores usando as fórmulas que já foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o índice de qualidade de vida daqui a 4 anos usando a função . Aqui, representa o tempo em anos.

Passo 3

Vamos substituir na função :

Passo 4

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente:

Passo 5

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador para encontrar :
Então, o índice de qualidade de vida daqui a 4 anos será 3.

Passo 6

Com o valor de , vamos agora calcular a população usando a função .

Passo 7

Substituindo na função :

Passo 8

Vamos calcular cada termo:

Passo 9

Agora, somamos todos os valores:

Resposta

Daqui a 4 anos, o índice de qualidade de vida será 3 e a população da comunidade será de 239 mil habitantes.

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