Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 do exercício anterior, calcular um valor aproximado e o erro desta aproximação para:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o polinômio de Taylor de segunda ordem que foi feito no exercício anterior para calcular uma aproximação de
e também descobrir qual é o erro dessa aproximação. Pra isso, vamos precisar entender como funciona o polinômio de Taylor e como aplicá-lo para encontrar valores aproximados de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor de ordem 2. Ele é uma maneira de aproximar uma função usando um polinômio quadrático. A fórmula geral é:
Onde
é a função avaliada em um ponto
,
é a primeira derivada em
, e
é a segunda derivada em
.
Passo 3
Vamos aplicar isso para a função
. Primeiro, escolhemos um ponto
. Geralmente, escolhemos
porque simplifica os cálculos. Então, temos:
A primeira derivada de
é
, então:
A segunda derivada é
, então:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Esse é o polinômio de Taylor de segunda ordem para
em torno de
.
Passo 5
Queremos aproximar
. Então, vamos substituir
no polinômio que encontramos:
Passo 6
Vamos calcular cada parte separadamente:
Então:
Agora, somando tudo:
Passo 7
Para encontrar o erro dessa aproximação, usamos o termo de resto do polinômio de Taylor. Para a segunda ordem, o erro
é dado por:
Onde
está entre
e
. Para
, todas as derivadas são
, então
.
Passo 8
Como
está entre
e
, o máximo valor que
pode assumir é
. Então, o erro máximo é:
Calculando
, então:
Resposta
Aproximação de
usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é aproximadamente 1,03045 e o erro dessa aproximação é, no máximo, cerca de 0,00000463.
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.
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