Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 do exercício anterior, calcular um valor aproximado e o erro desta aproximação para: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o polinômio de Taylor de segunda ordem que foi feito no exercício anterior para calcular uma aproximação de e também descobrir qual é o erro dessa aproximação. Pra isso, vamos precisar entender como funciona o polinômio de Taylor e como aplicá-lo para encontrar valores aproximados de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor de ordem 2. Ele é uma maneira de aproximar uma função usando um polinômio quadrático. A fórmula geral é:
Onde é a função avaliada em um ponto , é a primeira derivada em , e é a segunda derivada em .

Passo 3

Vamos aplicar isso para a função . Primeiro, escolhemos um ponto . Geralmente, escolhemos porque simplifica os cálculos. Então, temos:
A primeira derivada de é , então:
A segunda derivada é , então:

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Esse é o polinômio de Taylor de segunda ordem para em torno de .

Passo 5

Queremos aproximar . Então, vamos substituir no polinômio que encontramos:

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
Então:
Agora, somando tudo:

Passo 7

Para encontrar o erro dessa aproximação, usamos o termo de resto do polinômio de Taylor. Para a segunda ordem, o erro é dado por:
Onde está entre e . Para , todas as derivadas são , então .

Passo 8

Como está entre e , o máximo valor que pode assumir é . Então, o erro máximo é:
Calculando , então:

Resposta

Aproximação de usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é aproximadamente 1,03045 e o erro dessa aproximação é, no máximo, cerca de 0,00000463.

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