Encontre a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado: .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional definida por uma função vetorial . O objetivo é encontrar a equação da reta tangente a essa curva no ponto correspondente a . Para resolver isso, precisamos saber como encontrar uma reta tangente a uma curva paramétrica em um ponto específico.
Passo 2
Vamos começar calculando as coordenadas do ponto na curva quando . Substituindo na função :
Simplificando cada componente:
Sabemos que , então o ponto é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . Para isso, calculamos a derivada da função vetorial em relação a , ou seja, :
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora, substituímos na derivada para encontrar o vetor tangente no ponto:
Simplificando cada componente:
(já que )
Então, o vetor tangente é .
Passo 5
Com o ponto e o vetor tangente , podemos escrever a equação paramétrica da reta tangente. A equação de uma reta no espaço é dada por:
Onde é o ponto na reta e são as componentes do vetor direcional.