Dois carros movem-se no mesmo sentido em uma estrada retilínea com velocidades vA=108 km / h e vB=72 km / h, respectivamente. Quando a frente do carro A está a 10 m atrás da traseira do carro B , o motorista do carro A freia, causando uma desaceleração a=5 m / s^2.
Calcule a distância percorrida pelo carro A até que ele colida com o carro B;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre dois carros que estão andando na mesma direção numa estrada reta. O carro A está indo mais rápido que o carro B. Especificamente, o carro A tem uma velocidade de 108 km/h e o carro B de 72 km/h. No momento em que a frente do carro A está 10 metros atrás da traseira do carro B, o motorista do carro A freia com uma desaceleração de 5 m/s². Nosso objetivo é calcular a distância que o carro A percorre até colidir com o carro B.
Para resolver isso, vamos precisar converter as velocidades de km/h para m/s, entender o movimento dos dois carros e aplicar as equações de movimentação com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as velocidades dos carros de km/h para m/s, porque as outras unidades estão em metros e segundos. A fórmula para converter km/h para m/s é:
v (m/s) = v (km/h) times 10003600
Aplicando isso:
Para o carro A:
vA = 108 times 10003600 = 30 m/s
Para o carro B:
vB = 72 times 10003600 = 20 m/s

Passo 3

Agora, vamos analisar o movimento dos dois carros. O carro A está freando, então sua velocidade está diminuindo devido à desaceleração. Já o carro B está seguindo em velocidade constante.
Queremos saber quando o carro A alcança o carro B. Para isso, vamos calcular a posição de cada carro em função do tempo e encontrar o momento em que as posições são iguais considerando a distância inicial de 10 metros.

Passo 4

Vamos definir o tempo como “t” segundos após o início da frenagem do carro A.
A posição do carro A em função do tempo, considerando a desaceleração, é dada por:
sA = vA t - 12 a t^2
A posição do carro B em função do tempo, como está se movendo a velocidade constante, é:
sB = vB t + 10
(O +10 metros é a distância inicial entre os carros.)

Passo 5

Para encontrar o momento da colisão, igualamos as duas posições:
vA t - 12 a t^2 = vB t + 10
Substituindo os valores conhecidos:
30 t - 12 times 5 times t^2 = 20 t + 10
Simplificando a equação:
30 t - 2.5 t^2 = 20 t + 10

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver para t:
30 t - 2.5 t^2 - 20 t - 10 = 0
-2.5 t^2 + 10 t - 10 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
2.5 t^2 - 10 t + 10 = 0

Passo 7

Agora, temos uma equação quadrática na forma:
a t^2 + b t + c = 0
onde:
a = 2.5 b = -10 c = 10
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Calculando o discriminante:
De
Como Δ = 0, temos uma única solução:
t = 105 = 2 segundos

Passo 8

Agora que sabemos que o tempo até a colisão é de 2 segundos, vamos calcular a distância percorrida pelo carro A nesse tempo.
Usando a equação da posição do carro A:
sA = vA t - 12 a t^2
sA = 30 times 2 - 12 times 5 times (2)^2
sA = 60 - 12 times 5 times 4
sA = 60 - 10 = 50 metros

Resposta

A distância percorrida pelo carro A até colidir com o carro B é de 50 metros.

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