Um motociclista que está se movendo ao longo de um eixo x na direção leste tem uma aceleração dada por a=(6,1-1,2 t) m / s^2 para 0 <= t <= 6,0 s. Em t=0, a velocidade e a posição do ciclista são 2,7 m / s e 7,3 m.
b) Qual é a distância percorrida por ele entre t=0 et =6,0 s?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! Temos um motociclista que está se movendo para o leste com uma aceleração que varia ao longo do tempo, dada por a(t) = 6,1 - 1,2,t m/s², no intervalo de tempo de 0 a 6,0 segundos. Sabemos que, no momento inicial ( t = 0), a velocidade dele é 2,7 m/s e sua posição é 7,3 metros. O que precisamos encontrar aqui é a distância que ele percorre nesse intervalo de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para descobrir como a velocidade muda ao longo do tempo, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo. A fórmula da velocidade em função do tempo é:
v(t) = integral a(t),dt + v0
Onde v0 é a velocidade inicial. Vamos integrar a aceleração:
v(t) = integral (6,1 - 1,2,t),dt + 2,7
Integrando termo a termo:
v(t) = 6,1,t - 0,6,t² + 2,7 ²
Então, a equação da velocidade é:
v(t) = 6,1,t - 0,6,t² + 2,7 ²

Passo 3

Agora, para encontrar a distância percorrida, precisamos integrar a velocidade em relação ao tempo, já que a distância é a integral da velocidade. A posição em função do tempo é dada por:
s(t) = integral v(t),dt + s0
Onde s0 é a posição inicial, mas como queremos a distância percorrida e não a posição final absoluta, podemos focar apenas na integração da velocidade:
s(t) = integral (6,1,t - 0,6,t² + 2,7),dt ²
Integrando termo a termo:
s(t) = 3,05,t² - 0,2,t³ + 2,7,t ²³
Agora, para encontrar a distância percorrida entre t = 0 e t = 6,0 s, substituímos t = 6,0 na equação acima e subtraímos o valor em t = 0 (que será zero, já que todos os termos têm t como fator).

Resposta

A distância percorrida pelo motociclista entre t = 0 e t = 6,0 s é de 46,90 metros.

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