Dois carros, A e B, percorrem uma mesma estrada, e suas respectivas funções horárias da posição são dadas por S(A) = 2t - 5 e S(B) = t² - 4 onde S é dado em metros e t é dado em segundos. Determine:
a) O instante em que os carros se encontram
b) a velocidade de B no instante do encontro
c) a aceleração de B no instante do encontro
d) a classificação do movimento de B no instante do encontro
a) O instante em que os carros se encontram
b) a velocidade de B no instante do encontro
c) a aceleração de B no instante do encontro
d) a classificação do movimento de B no instante do encontro
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois carros, A e B, que estão percorrendo a mesma estrada. As posições deles em função do tempo são dadas por:
onde $ S $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Vamos precisar usar conhecimentos de cinemática, especialmente as funções horárias, para descobrir:
a) Quando os carros se encontram.
b) A velocidade do carro B nesse instante.
c) A aceleração do carro B nesse instante.
d) Como é o movimento do carro B nesse momento.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quando os carros se encontram. Isso significa encontrar o tempo $ t $ em que as posições dos dois carros são iguais, ou seja, $ S_A(t) = S_B(t) $.
Então, temos a equação:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar $ t $. Primeiro, vamos rearranjá-la para deixá-la igual a zero:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara ou fatorando. Vamos fatorar:
Então, temos:
Passo 4
Agora que sabemos que os carros se encontram no instante $ t = 1 $ segundo, vamos encontrar a velocidade do carro B nesse instante. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
A função posição do carro B é:
Vamos derivar em relação a $ t $:
Agora, substituímos $ t = 1 $:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a aceleração do carro B no instante $ t = 1 $. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Já temos a velocidade:
Vamos derivar novamente:
Perceba que a aceleração é constante.
Passo 6
Por último, vamos classificar o movimento do carro B no instante do encontro. Sabemos que a função posição é $ S_B(t) = t^2 - 4 $, que é uma parábola. A velocidade $ v_B(t) = 2t $ aumenta com o tempo, e a aceleração é constante positiva $ a_B(t) = 2 , m/s^2 $.
Isso indica que o carro B está em movimento uniformemente variado (MUV), pois possui aceleração constante.
Resposta
a) Os carros se encontram no instante $ t = 1 $ segundo.
b) A velocidade de B no instante do encontro é $ 2 , m/s $.
c) A aceleração de B no instante do encontro é $ 2 , m/s^2 $.
d) O movimento de B no instante do encontro é uniformemente variado (MUV).