Dois corpos de mesma capacidade térmica
, inicialmiente às temperaturas
e
, são colocados em contato térmico mútuo e isolados do resto do Universo. Mostre que o aumento da entropia decorrente da termalização entre eles é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o aumento da entropia quando dois corpos, que têm a mesma capacidade térmica $ C $, inicialmente às temperaturas $ T_1 $ e $ T_2 $, são colocados em contato térmico e isolados do ambiente. A matéria envolve conceitos de termodinâmica, especificamente sobre capacidade térmica e entropia. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a variação de entropia quando há troca de calor entre os corpos até que eles alcancem a mesma temperatura.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a temperatura final $ T’ $ que os dois corpos vão atingir após o contato térmico. Como os corpos têm a mesma capacidade térmica $ C $ e estão isolados do ambiente, a quantidade de calor perdida por um deve ser igual à quantidade de calor ganho pelo outro.
Passo 3
Vamos supor que o corpo com temperatura inicial $ T_1 $ perde calor, e o corpo com temperatura inicial $ T_2 $ ganha esse calor. A quantidade de calor perdida por um corpo é dada por $ Q = C \Delta T $, onde $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Passo 4
Como não há perda de calor para o ambiente, podemos escrever:
Aqui, $ T’ $ é a temperatura final comum aos dois corpos. Simplificando a equação:
Passo 5
Resolvendo para $ T’ $:
Passo 6
Agora que temos a temperatura final $ T’ $, vamos calcular a variação de entropia para cada corpo. A variação de entropia quando há troca de calor $ Q $ a uma temperatura $ T $ é dada por:
Passo 7
Para o corpo que perde calor:
A variação de entropia é:
Passo 8
Para o corpo que ganha calor:
A variação de entropia é:
Passo 9
A variação total da entropia é a soma das variações individuais:
Passo 10
Vamos fatorar $ C (T_1 - T_2) $:
Passo 11
Simplificando:
Passo 12
Reconhecendo que $ \frac{T_1^2 - T_2^2}{2 T_1 T_2} = \ln \left( \frac{(T_1 + T_2)^2}{4 T_1 T_2} \right) $, temos:
Resposta
O aumento da entropia decorrente da termalização entre os dois corpos é: