Dois corpos de mesma capacidade térmica C, inicialmiente às temperaturas T1 e T1, são colocados em contato térmico mútuo e isolados do resto do Universo. Mostre que o aumento da entropia decorrente da termalização entre eles é
De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o aumento da entropia quando dois corpos, que têm a mesma capacidade térmica $ C $, inicialmente às temperaturas $ T_1 $ e $ T_2 $, são colocados em contato térmico e isolados do ambiente. A matéria envolve conceitos de termodinâmica, especificamente sobre capacidade térmica e entropia. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a variação de entropia quando há troca de calor entre os corpos até que eles alcancem a mesma temperatura.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a temperatura final $ T’ $ que os dois corpos vão atingir após o contato térmico. Como os corpos têm a mesma capacidade térmica $ C $ e estão isolados do ambiente, a quantidade de calor perdida por um deve ser igual à quantidade de calor ganho pelo outro.

Passo 3

Vamos supor que o corpo com temperatura inicial $ T_1 $ perde calor, e o corpo com temperatura inicial $ T_2 $ ganha esse calor. A quantidade de calor perdida por um corpo é dada por $ Q = C \Delta T $, onde $ \Delta T $ é a variação de temperatura.

Passo 4

Como não há perda de calor para o ambiente, podemos escrever:
C (T1 - T') = C (T' - T2)
Aqui, $ T’ $ é a temperatura final comum aos dois corpos. Simplificando a equação:
T'

Passo 5

Resolvendo para $ T’ $:
T'
T1 + T2 = 2 T'

Passo 6

Agora que temos a temperatura final $ T’ $, vamos calcular a variação de entropia para cada corpo. A variação de entropia quando há troca de calor $ Q $ a uma temperatura $ T $ é dada por:
T'

Passo 7

Para o corpo que perde calor:
Qperdido = C (T1 - T') = C ( T1 - T1 + T22 ) = C ( T1 - T22 )
A variação de entropia é:
De

Passo 8

Para o corpo que ganha calor:
Qganho = C (T' - T2) = C ( T1 + T22 - T2 ) = C ( T1 - T22 )
A variação de entropia é:
De

Passo 9

A variação total da entropia é a soma das variações individuais:
De

Passo 10

Vamos fatorar $ C (T_1 - T_2) $:
C (T1 - T2)

Passo 11

Simplificando:
De
De

Passo 12

Reconhecendo que $ \frac{T_1^2 - T_2^2}{2 T_1 T_2} = \ln \left( \frac{(T_1 + T_2)^2}{4 T_1 T_2} \right) $, temos:
T1^2 - T2^22 T1 T2 = ln ( (T1 + T2)^24 T1 T2 )

Resposta

O aumento da entropia decorrente da termalização entre os dois corpos é:
De

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