Uma máguina térmica tem dois estígios. O primeiro utiliza uma fonte de calor à temperatura T1, realiza trabalho e despeja o resto de calor no segundo estágio. Este utiliza o calor rejeitado pelo primeiro estágio, realiza trabalho e despeja o resto de calor em um reservatorio a temperatura T2. Demonstre que o rendimento maximo da máquina continua sendo (T1-T2) / T1.

Passo 1

Beleza! Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma máquina térmica com duas etapas. A primeira etapa usa uma fonte de calor na temperatura $ T_1 $, faz trabalho e rejeita o calor restante para a segunda etapa. A segunda etapa usa esse calor rejeitado, também faz trabalho e joga o calor restante para um reservatório a temperatura $ T_2 $. Queremos mostrar que o rendimento máximo dessa máquina é $ \frac{T_1 - T_2}{T_1} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre eficiência de máquinas térmicas e ciclo de Carnot.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é eficiência de uma máquina térmica. A eficiência ($ \eta eta éçã W W Q_1 $):
Q1
Queremos encontrar essa eficiência máxima para nossa máquina de duas etapas.

Passo 3

Vamos analisar a primeira etapa da máquina. Ela absorve um calor $ Q_1 $ da fonte de temperatura $ T_1 $, realiza um trabalho $ W_1 $ e rejeita um calor $ Q_2 $ para a segunda etapa. A eficiência dessa primeira etapa, se for a máxima possível (Ciclo de Carnot), é:
Q1
Portanto, o trabalho realizado na primeira etapa é:
T1

Passo 4

Agora, vamos para a segunda etapa. Ela recebe o calor rejeitado $ Q_2 $ da primeira etapa. Assim, $ Q_2 = Q_1 \times \frac{T_2}{T_1} $. A eficiência da segunda etapa também é de um Ciclo de Carnot, então:
Q2
Isso significa que toda a energia recebida na segunda etapa seria convertida em trabalho, mas na verdade, para manter a eficiência máxima, a segunda etapa não realiza trabalho líquido adicional, já que rejeita o calor para o reservatório a $ T_2 $.

Passo 5

Totalizando o trabalho realizado pela máquina inteira, temos apenas o trabalho da primeira etapa:
Wtotal = W1 = Q1 (1 - T2T1)

Passo 6

O calor total absorvido pela máquina é $ Q_1 $, já que a segunda etapa não absorve calor adicional da fonte externa.

Passo 7

Agora, calculamos a eficiência total da máquina:
eta = WtotalQ1 = Q1 (1 - T2T1)Q1 = 1 - T2T1

Resposta

O rendimento máximo da máquina é $ \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} $.

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