Uma máguina térmica tem dois estígios. O primeiro utiliza uma fonte de calor à temperatura
, realiza trabalho e despeja o resto de calor no segundo estágio. Este utiliza o calor rejeitado pelo primeiro estágio, realiza trabalho e despeja o resto de calor em um reservatorio a temperatura
. Demonstre que o rendimento maximo da máquina continua sendo
.
Passo 1
Beleza! Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma máquina térmica com duas etapas. A primeira etapa usa uma fonte de calor na temperatura $ T_1 $, faz trabalho e rejeita o calor restante para a segunda etapa. A segunda etapa usa esse calor rejeitado, também faz trabalho e joga o calor restante para um reservatório a temperatura $ T_2 $. Queremos mostrar que o rendimento máximo dessa máquina é $ \frac{T_1 - T_2}{T_1} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre eficiência de máquinas térmicas e ciclo de Carnot.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é eficiência de uma máquina térmica. A eficiência ($ \eta
W
Q_1 $):
Queremos encontrar essa eficiência máxima para nossa máquina de duas etapas.
Passo 3
Vamos analisar a primeira etapa da máquina. Ela absorve um calor $ Q_1 $ da fonte de temperatura $ T_1 $, realiza um trabalho $ W_1 $ e rejeita um calor $ Q_2 $ para a segunda etapa. A eficiência dessa primeira etapa, se for a máxima possível (Ciclo de Carnot), é:
Portanto, o trabalho realizado na primeira etapa é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda etapa. Ela recebe o calor rejeitado $ Q_2 $ da primeira etapa. Assim, $ Q_2 = Q_1 \times \frac{T_2}{T_1} $. A eficiência da segunda etapa também é de um Ciclo de Carnot, então:
Isso significa que toda a energia recebida na segunda etapa seria convertida em trabalho, mas na verdade, para manter a eficiência máxima, a segunda etapa não realiza trabalho líquido adicional, já que rejeita o calor para o reservatório a $ T_2 $.
Passo 5
Totalizando o trabalho realizado pela máquina inteira, temos apenas o trabalho da primeira etapa:
Passo 6
O calor total absorvido pela máquina é $ Q_1 $, já que a segunda etapa não absorve calor adicional da fonte externa.
Passo 7
Agora, calculamos a eficiência total da máquina:
Resposta
O rendimento máximo da máquina é $ \frac{T_{1} - T_{2}}{T_{1}} $.