Dois corpos são lançados verticalmente para cima do mesmo ponto e com velocidades iniciais iguais a 30 m / s. O segundo corpo é lançado 3 s depois do primeiro. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10 m / s^2, determine:
(b) as velocidades dos corpos no instante do encontro.
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Dois corpos estão sobre a mesma vertical, à distância de 30 m um do outro. Abandona-se o de cima e, após 2 s, o outro. Após quanto tempo e em que ponto se dará o encontro dos dois? Despreza-se a resistência do ar (dado: g=10 m / s^2 ).
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Um objeto é lançado verticalmente para cima e volta ao solo após 4 s do lançamento. Considerando g=10 m / s^2 e desprezando a resistência do ar, calcule:
(a) a velocidade de lançamento v0;

Passo 1

Beleza, então temos dois corpos sendo lançados para cima do mesmo ponto com velocidade inicial de 30 , m/s. O segundo corpo é lançado 3 segundos depois do primeiro. Vamos usar as equações do movimento uniformemente variado e a conservação da energia para descobrir as velocidades dos corpos no momento em que eles se encontram. Precisamos considerar a aceleração da gravidade g = 10 , m/s^2.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a posição de cada corpo em função do tempo até o encontro. Para o primeiro corpo lançado, a posição y1(t) em qualquer instante t é dada por:
y1(t) = v0 t - 12 g t^2
onde v0 = 30 , m/s.

Passo 3

Para o segundo corpo, que é lançado 3 segundos depois, o tempo de movimento até o encontro será t - 3. Então, a posição y2(t) é:
y2(t) = v0 (t - 3) - 12 g (t - 3)^2

Passo 4

No instante do encontro, as posições dos dois corpos são iguais:
y1(t) = y2(t)
Substituindo as expressões:
30 t - 5 t^2 = 30 (t - 3) - 5 (t - 3)^2

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
30 t - 5 t^2 = 30 t - 90 - 5 (t^2 - 6t + 9)
30 t - 5 t^2 = 30 t - 90 - 5 t^2 + 30 t - 45
30 t - 5 t^2 = 60 t - 135 - 5 t^2

Passo 6

Cancelando termos semelhantes:
30 t = 60 t - 135
-30 t = -135
t = 4.5 , segundos

Passo 7

Agora temos dois corpos alinhados verticalmente com 30 metros de distância. O corpo de cima é abandonado e, após 2 segundos, o de baixo também é. Queremos saber quanto tempo e em que ponto eles se encontram. Vamos usar as equações do movimento uniformemente variado, considerando g = 10 , m/s^2.

Passo 8

Vamos chamar o corpo de cima de Corpo A e o de baixo de Corpo B. Corpo A é abandonado com velocidade inicial zero, então sua posição em função do tempo t é:
yA(t) = h - 12 g t^2
onde h = 30 , m.

Passo 9

O Corpo B é abandonado 2 segundos depois, também com velocidade inicial zero. Sua posição em função do tempo será:
yB(t) = - 12 g (t - 2)^2

Passo 10

No encontro, as posições são iguais:
yA(t) = yB(t)
Substituindo:
30 - 5 t^2 = -5 (t - 2)^2

Passo 11

Simplificando a equação:
30 - 5 t^2 = -5 (t^2 - 4t + 4)
30 - 5 t^2 = -5 t^2 + 20 t - 20

Passo 12

Cancelando termos semelhantes:
30 = 20 t - 20
50 = 20 t
t = 2.5 , segundos

Passo 13

Agora, vamos encontrar o ponto de encontro substituindo t = 2.5 , segundos na equação de yA(t):
yA(2.5) = 30 - 5 (2.5)^2 = 30 - 5 times 6.25 = 30 - 31.25 = -1.25 , m
Como o resultado é negativo, isso indica que o encontro ocorre 1,25 metros abaixo do ponto de abandono inicial.

Passo 14

Finalmente, temos um objeto lançado verticalmente para cima que retorna ao solo após 4 segundos. Queremos encontrar a velocidade inicial v0. Vamos usar as equações do movimento uniformemente variado com g = 10 , m/s^2.

Passo 15

Sabemos que o tempo total de subida e descida é 4 segundos. O objeto leva metade desse tempo para subir e a outra metade para descer, ou seja, 2 segundos para atingir o ponto mais alto.

Passo 16

No ponto mais alto, a velocidade final é zero. Usando a equação:
v = v0 - g t
Onde v = 0 no ponto mais alto e t = 2 , segundos:
0 = v0 - 10 times 2
v0 = 20 , m/s

Resposta

A velocidade de lançamento v0 é de 20 , m/s.

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