Duvidas pedras descrevem trajetórias paralelas ao serem lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo instante. A primeira é lançada com velocidade de 20 m / s de uma plataforma situada à altura de 20 m e a segunda é lançada a partir do solo com velocidade de 30 m / s. Adotando g=10 m / s^2 e desprezando a resistência do ar, determine:
(a) o instante em que as pedras se cruzam;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas pedras sendo lançadas para cima ao mesmo tempo. A primeira pedra parte de uma plataforma a 20 metros do chão com uma velocidade de 20 m/s, e a segunda parte do chão com 30 m/s. Vamos usar a física de movimentos verticalmente para cima, considerando a aceleração da gravidade $ g = 10 , m/s^2 $. Nosso objetivo é descobrir em que instante as duas pedras cruzam suas trajetórias.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular a posição de cada pedra em função do tempo. A fórmula geral para a posição vertical de um objeto lançado para cima é:
h(t) = h0 + v0 t - 12 g t^2
onde:
  • $ h(t) $ é a altura no tempo $ t $,
  • $ h_0 $ é a altura inicial,
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para cada pedra.
Para a primeira pedra:
  • Altura inicial $ h_{0_1} = 20 , m $,
  • Velocidade inicial $ v_{0_1} = 20 , m/s $.
Então, a altura dela no tempo $ t $ é:
h01 = 20 , m
Simplificando:
v01 = 20 , m/s
Para a segunda pedra:
  • Altura inicial $ h_{0_2} = 0 , m $ (parte do chão),
  • Velocidade inicial $ v_{0_2} = 30 , m/s $.
Assim, a altura dela no tempo $ t $ é:
t
Simplificando:
h1(t) = 20 + 20t - 12 times 10 times t^2

Passo 4

Agora, para descobrir quando as pedras se cruzam, precisamos encontrar o tempo $ t $ em que as alturas das duas pedras são iguais. Ou seja, resolveremos a equação:
t
Substituindo as expressões que encontramos:
h1(t) = h2(t)

Passo 5

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, observamos que os termos $ -5t^2 $ aparecem dos dois lados e se cancelam:
-5t^2
Agora, subtraindo $ 20t $ de ambos os lados:
20 + 20t = 30t
Dividindo ambos os lados por 10:
20t

Resposta

As pedras se cruzam 2 segundos após serem lançadas.

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