Duvidas pedras descrevem trajetórias paralelas ao serem lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo instante. A primeira é lançada com velocidade de
de uma plataforma situada à altura de 20 m e a segunda é lançada a partir do solo com velocidade de
. Adotando
desprezando a resistência do ar, determine:
(a) o instante em que as pedras se cruzam;
(a) o instante em que as pedras se cruzam;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas pedras sendo lançadas para cima ao mesmo tempo. A primeira pedra parte de uma plataforma a 20 metros do chão com uma velocidade de 20 m/s, e a segunda parte do chão com 30 m/s. Vamos usar a física de movimentos verticalmente para cima, considerando a aceleração da gravidade $ g = 10 , m/s^2 $. Nosso objetivo é descobrir em que instante as duas pedras cruzam suas trajetórias.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular a posição de cada pedra em função do tempo. A fórmula geral para a posição vertical de um objeto lançado para cima é:
onde:
- $ h(t) $ é a altura no tempo $ t $,
- $ h_0 $ é a altura inicial,
- $ v_0 $ é a velocidade inicial,
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para cada pedra.
Para a primeira pedra:
- Altura inicial $ h_{0_1} = 20 , m $,
- Velocidade inicial $ v_{0_1} = 20 , m/s $.
Então, a altura dela no tempo $ t $ é:
Simplificando:
Para a segunda pedra:
- Altura inicial $ h_{0_2} = 0 , m $ (parte do chão),
- Velocidade inicial $ v_{0_2} = 30 , m/s $.
Assim, a altura dela no tempo $ t $ é:
Simplificando:
Passo 4
Agora, para descobrir quando as pedras se cruzam, precisamos encontrar o tempo $ t $ em que as alturas das duas pedras são iguais. Ou seja, resolveremos a equação:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, observamos que os termos $ -5t^2 $ aparecem dos dois lados e se cancelam:
Agora, subtraindo $ 20t $ de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por 10:
Resposta
As pedras se cruzam 2 segundos após serem lançadas.