Dois fios A e B são tais que o comprimento do Fio B é o dobro do comprimento do Fio A e a área de seção do Fio A é 8 vezes menor que a do Fio B. Sendo os fios feitos do mesmo material, determine a razão entre a resistência do Fio B e a do Fio A.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois fios, o Fio A e o Fio B. Sabemos que:
  • O comprimento do Fio B é o dobro do comprimento do Fio A.
  • A área de seção do Fio A é 8 vezes menor que a do Fio B.
  • Ambos os fios são feitos do mesmo material.
O que queremos descobrir é a razão entre a resistência do Fio B e a do Fio A. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula da resistência elétrica e como ela se relaciona com o comprimento e a área de seção dos fios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica:
R = rho cdot LA
Onde:
  • $ R $ é a resistência,
  • $ \rho $ é a resistividade do material,
  • $ L $ é o comprimento do fio,
  • $ A $ é a área de seção transversal do fio.
Como os fios são do mesmo material, a resistividade $ \rho $ é a mesma para ambos.

Passo 3

Vamos definir:
  • $ L_A $ e $ A_A $ são o comprimento e a área de seção do Fio A.
  • $ L_B $ e $ A_B $ são o comprimento e a área de seção do Fio B.
Segundo o enunciado:
  • $ L_B = 2L_A $ (Fio B tem o dobro do comprimento do Fio A)
  • $ A_A = \frac{1}{8}A_B $ (Área de seção do Fio A é 8 vezes menor que a do Fio B)

Passo 4

Agora, vamos calcular a resistência de cada fio usando a fórmula da resistência.
Para o Fio A:
RA = rho cdot LAAA
Para o Fio B:
RB = rho cdot LBAB = rho cdot 2LAAB

Passo 5

Queremos encontrar a razão $ \frac{R_B}{R_A} $. Vamos substituir as expressões de $ R_A $ e $ R_B $:
RBRA
Aqui, $ \rho $ e $ L_A $ se cancelam.

Passo 6

Sabemos que $ A_A = \frac{1}{8}A_B $. Substituindo na expressão:
AA = 18AB

Resposta

A razão entre a resistência do Fio B e a do Fio A é $ \frac{R_B}{R_A} = \frac{1}{4} $.

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