Dois fios 1 e 2 de seção transversal circular são feitos de um mesmo metal e possuem o mesmo comprimento, mas a resistência do fio 1 é três vezes maior que a do fio 2. (a) Qual é a razão entre a área transversal do fio 1 e do fio 2 ? (b) Qual é a razão entre os raios de 1 e de 2? R: (a) 1 / 3; (b) 1 / raiz3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos dois fios, o fio 1 e o fio 2, feitos do mesmo metal, com seção transversal circular e comprimento igual. A resistência do fio 1 é três vezes maior que a do fio 2. Vamos usar conceitos de resistência elétrica e área de seção transversal para resolver as questões:
(a) Queremos descobrir qual é a razão entre a área transversal do fio 1 e do fio 2.
(b) Queremos descobrir a razão entre os raios do fio 1 e do fio 2.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da resistência elétrica de um fio:
R = rho LA
Onde:
  • é a resistência,
  • é a resistividade do material,
  • é o comprimento do fio,
  • é a área da seção transversal.
Como ambos os fios são feitos do mesmo metal ( é o mesmo) e têm o mesmo comprimento ( é o mesmo), a resistência depende apenas da área da seção transversal.

Passo 3

A resistência é inversamente proporcional à área da seção transversal. Ou seja, se a resistência de um fio aumenta, a área da seção transversal diminui, e vice-versa.
Matematicamente, podemos relacionar as resistências dos dois fios:
R1R2 = A2A1
Sabemos que 3R2R2 = A2A1 implies 3 = A2A1 , então:

Passo 4

Agora, queremos a razão A1A2 = 13 :
Então, a razão entre a área transversal do fio 1 e do fio 2 é .

Passo 5

Para a parte (b), precisamos relacionar as áreas das seções transversais aos seus raios. Sabemos que a área de uma seção circular é dada por:
A = pi r^2
Onde é o raio.
Vamos chamar e os raios dos fios 1 e 2, respectivamente.

Passo 6

Usando a razão das áreas que já encontramos:
A1A2 = pi r1^2pi r2^2 = r1^2r2^2 = 13
Simplificando:
r1r2 = raiz13 = 1raiz3

Resposta

(a) A razão entre a área transversal do fio 1 e do fio 2 é .
(b) A razão entre os raios do fio 1 e do fio 2 é .

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