Dois fluidos imiscíveis (mu^I>mu^I I e rho^I>rho^I I) fluem entre um par de placas horizontais com a interface líquido/líquido situada na metade da distância entre as placas. Derive a equação para o perfil de velocidade de cada um dos fluidos. Derive a expressão para a distância x onde a tensão de cisalhamento é igual a zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. A gente tem dois fluidos que não se misturam (tipo óleo e água), com viscosidades diferentes ( mu^I > mu^II) e densidades diferentes ( rho^I > rho^II). Esses fluidos estão entre duas placas horizontais, e a interface entre eles está justamente no meio da distância entre as placas. Nosso objetivo é encontrar como a velocidade de cada fluido varia no espaço (o perfil de velocidade) e descobrir onde a tensão de cisalhamento é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que é tensão de cisalhamento. É a força que faz com que uma camada de fluido deslize sobre a outra. A equação que descreve o perfil de velocidade em um fluxo laminado entre placas é baseada na lei de Newton para fluidos viscosos:
tau = mu dudy
Aqui, tau é a tensão de cisalhamento, mu é a viscosidade do fluido, e dudy é a derivada da velocidade em relação à posição perpendicular às placas.

Passo 3

Como temos dois fluidos diferentes, vamos considerar cada um separadamente. Vamos chamar de Fluido I ao de cima e Fluido II ao de baixo. A interface está no meio, então a distância total entre as placas é dividida igualmente entre os dois fluidos.
Vamos assumir que a velocidade das placas é constante e que o fluxo está em regime estacionário (não muda com o tempo). Assim, para cada fluido, a equação de equilíbrio de forças fica:
mu^I d^2u^Idy^2 = 0 e mu^II d^2u^IIdy^2 = 0

Passo 4

Integrando a equação acima para o Fluido I:
du^Idy = C1
Integrando de novo:
u^I = C1 y + C2
Fazendo o mesmo para o Fluido II:
u^II = C3 y + C4

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições de contorno. Sabemos que em cada placa a velocidade do fluido deve igualar a velocidade da própria placa. Se assumirmos que a placa de baixo está parada ( u=0), temos:
Para o Fluido II, na posição y=0:
u^II(0) = C4 = 0 Rightarrow C4 = 0
E, para a placa de cima na posição y=H (onde H é a distância total entre as placas):
u^I(H) = C1 H + C2

Passo 6

A interface está na metade, ou seja, em y = H2. Aqui, a velocidade dos dois fluidos deve ser igual:
u^I(H2) = u^II(H2)
Além disso, a tensão de cisalhamento também deve ser igual na interface:
mu^I du^Idy|y=H/2 = mu^II du^IIdy|y=H/2

Passo 7

Vamos resolver as constantes. Primeiro, da condição de continuidade da velocidade:
C1 (H2) + C2 = C3 (H2)
E da condição de continuidade da tensão de cisalhamento:
mu^I C1 = mu^II C3
Da segunda equação, podemos expressar C3 em função de C1:
C3 = mu^Imu^II C1
Substituindo na primeira equação:
C1 (H2) + C2 = mu^Imu^II C1 (H2)
Resolvendo para C2:
C2 = C1 (H2) ( mu^Imu^II - 1 )

Passo 8

Agora, vamos considerar a condição na placa de cima. Se a velocidade da placa de cima for U, então:
u^I(H) = C1 H + C2 = U
Substituindo C2:
C1 H + C1 (H2) ( mu^Imu^II - 1 ) = U
Fatorando C1:
C1 [ H + H2 ( mu^Imu^II - 1 ) ] = U
Simplificando:
C1 [ 3H2 - H2 cdot mu^IImu^II ] = U
Finalmente, resolvendo para C1:
C1 = 2U3H
E, consequentemente:
C3 = 2U mu^I3H mu^II

Passo 9

Agora, com as constantes determinadas, podemos escrever os perfis de velocidade:
Para o Fluido I:
u^I(y) = 2U3H y + 2U3H (H2) ( mu^Imu^II - 1 )
Simplificando:
u^I(y) = 2U3H y + U3 ( mu^Imu^II - 1 )
Para o Fluido II:
u^II(y) = 2U mu^I3H mu^II y

Passo 10

Por fim, para encontrar a posição x onde a tensão de cisalhamento é zero, usamos a condição de equilíbrio das tensões:
mu^I du^Idy = mu^II du^IIdy
Como já tínhamos resolvido essa igualdade na interface, percebemos que a tensão de cisalhamento é zero fora dessas regiões, ou seja, na transição entre os fluidos. Portanto, a distância x onde a tensão de cisalhamento é zero coincide com a posição da interface, que é:
x = H2

Resposta

A posição onde a tensão de cisalhamento é zero está localizada na metade da distância entre as placas, ou seja:
x = H2

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