No tanque do Problema 3.18, se a abertura para a atmosfera na câmara direita estiver inicialmente bloqueada, a que pressão deveria o ar na câmara esquerda ser comprimido de modo a levar a superficie da água para o mesmo nível da superfície livre na câmara direita? (Considere que a temperatura do ar aprisionado na câmara direita permaneça constante.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo! Temos um tanque dividido em duas câmaras: a esquerda e a direita. Na câmara direita, a abertura para o ar está inicialmente bloqueada. Queremos descobrir a pressão que o ar na câmara esquerda precisa ter para que a superfície da água nas duas câmaras fique no mesmo nível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática (que lida com pressão em fluidos) e Lei de Boyle (que relaciona pressão e volume em gases a temperatura constante).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um fluido em equilíbrio depende da profundidade. A pressão total em cada câmara será a soma da pressão do ar mais a pressão da coluna de água. Para que as superfícies da água fiquem no mesmo nível, as pressões totais nas duas câmaras devem ser iguais.

Passo 3

Vamos chamar:
  • PL de pressão do ar na câmara esquerda,
  • PR + rho g h de pressão do ar na câmara direita,
  • da altura da coluna de água.
A pressão na câmara esquerda será:
Já na câmara direita, como há uma coluna de água com altura , a pressão será:
Onde:
  • é a densidade da água,
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 4

Para que as superfícies fiquem no mesmo nível, as pressões devem ser iguais:
PL = PR + rho g h

Passo 5

Agora, precisamos relacionar PR VR = PR0 VR0 com a condição inicial da câmara direita. Como a temperatura permanece constante, podemos usar a Lei de Boyle, que diz que PR = PR0 VR0VR , onde é o volume do ar na câmara direita.
Se inicialmente a câmara estava com um volume e pressão , após a compressão, teremos:

Passo 6

Podemos assumir que a compressão do ar na câmara direita faz com que o volume diminua na mesma proporção que a altura da coluna de água aumenta. Se aumenta, diminui.
Para simplificar, vamos considerar que a variação do volume relaciona-se diretamente com a variação da altura da água. Assim, podemos substituir na equação de equilíbrio de pressões.

Passo 7

Substituindo PL = PR0 VR0VR + rho g h na equação de equilíbrio:
Se considerarmos que está relacionado com a altura da coluna de água, podemos rearranjar para encontrar .

Passo 8

Se o volume da câmara direita inicialmente era PL = PR0 VR0VR0 - A h + rho g h e após a compressão é (onde é a área da seção transversal do tanque), então:

Passo 9

Finalmente, isolamos PL = PR01 - A hVR0 + rho g h para encontrar a pressão necessária na câmara esquerda:

Resposta

A pressão que o ar na câmara esquerda deve ter é:
PL = PR01 - A hVR0 + rho g h

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