No tanque do Problema 3.18, se a abertura para a atmosfera na câmara direita estiver inicialmente bloqueada, a que pressão deveria o ar na câmara esquerda ser comprimido de modo a levar a superficie da água para o mesmo nível da superfície livre na câmara direita? (Considere que a temperatura do ar aprisionado na câmara direita permaneça constante.)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo! Temos um tanque dividido em duas câmaras: a esquerda e a direita. Na câmara direita, a abertura para o ar está inicialmente bloqueada. Queremos descobrir a pressão que o ar na câmara esquerda precisa ter para que a superfície da água nas duas câmaras fique no mesmo nível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrostática (que lida com pressão em fluidos) e Lei de Boyle (que relaciona pressão e volume em gases a temperatura constante).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão em um fluido em equilíbrio depende da profundidade. A pressão total em cada câmara será a soma da pressão do ar mais a pressão da coluna de água. Para que as superfícies da água fiquem no mesmo nível, as pressões totais nas duas câmaras devem ser iguais.
Passo 3
Vamos chamar:
-
de pressão do ar na câmara esquerda, -
de pressão do ar na câmara direita, -
da altura da coluna de água.
A pressão na câmara esquerda será:
Já na câmara direita, como há uma coluna de água com altura
, a pressão será:
Onde:
-
é a densidade da água, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 4
Para que as superfícies fiquem no mesmo nível, as pressões devem ser iguais:
Passo 5
Agora, precisamos relacionar
com a condição inicial da câmara direita. Como a temperatura permanece constante, podemos usar a Lei de Boyle, que diz que
, onde
é o volume do ar na câmara direita.
Se inicialmente a câmara estava com um volume
e pressão
, após a compressão, teremos:
Passo 6
Podemos assumir que a compressão do ar na câmara direita faz com que o volume diminua na mesma proporção que a altura da coluna de água aumenta. Se
aumenta,
diminui.
Para simplificar, vamos considerar que a variação do volume relaciona-se diretamente com a variação da altura da água. Assim, podemos substituir
na equação de equilíbrio de pressões.
Passo 7
Substituindo
na equação de equilíbrio:
Se considerarmos que
está relacionado com a altura da coluna de água, podemos rearranjar para encontrar
.
Passo 8
Se o volume da câmara direita inicialmente era
e após a compressão é
(onde
é a área da seção transversal do tanque), então:
Passo 9
Finalmente, isolamos
para encontrar a pressão necessária na câmara esquerda:
Resposta
A pressão que o ar na câmara esquerda deve ter é:
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