Os dois grupos de vetores e são chamados de recíprocos se e qualquer outro produto escalar misturado como . Mostre que: onde Q=a (b times c).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois grupos de vetores: a, b, c e a^prime, b^prime, c^prime. Esses grupos são chamados de recíprocos se satisfazem duas condições:
Os produtos escalares correspondentes são iguais a 1, ou seja: a cdot a^prime = b cdot b^prime = c cdot c^prime = 1
Os produtos escalares mistos são iguais a 0, por exemplo: a cdot b^prime = 0
Para resolver o exercício, vamos precisar usar conceitos de produtos vetoriais e escalares, além das propriedades dos vetores recíprocos.
Passo 2
Vamos começar calculando o produto vetorial entre dois vetores do primeiro grupo, por exemplo, a times b. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Além disso, o valor Q é definido como:
Q = a cdot (b times c)
Este valor Q é conhecido como o determinante formado pelos vetores a, b, c e é importante para normalizar os vetores recíprocos.
Passo 3
Agora, vamos expressar c^prime em termos dos vetores do primeiro grupo:
c^prime = a times bQ
Para verificar se esta expressão está correta, precisamos mostrar que c^prime satisfaz as condições dos vetores recíprocos.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar c cdot c^prime:
c cdot c^prime = c cdot (a times bQ) = c cdot (a times b)Q
Pela definição de Q, temos:
Q = a cdot (b times c)
Sabendo que o produto misto é cíclico, ou seja:
c cdot (a times b) = a cdot (b times c) = Q
Portanto:
c cdot c^prime = QQ = 1
Isso confirma que c^prime satisfaz a condição c cdot c^prime = 1.
Passo 5
Para verificar que os produtos escalares mistos são zero, por exemplo, a cdot c^prime, calculamos:
a cdot c^prime = a cdot (a times bQ) = a cdot (a times b)Q
Sabemos que o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de si mesmo com outro vetor é zero:
a cdot (a times b) = 0
Portanto:
a cdot c^prime = 0
Isso confirma que c^prime é perpendicular a a, atendendo à condição dos vetores recíprocos.
Passo 6
Seguindo o mesmo raciocínio, podemos expressar os outros vetores recíprocos:
a^prime = b times cQ
b^prime = c times aQ
E, analogamente, verificar que eles satisfazem as condições de reciprocidade.
Resposta
Os vetores recíprocos são dados por:
c^prime = a times bQ, a^prime = b times cQ, b^prime = c times aQ