Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja
a massa de uma partícula sujeita ao potencial central
seu momento linear.
(e) Mostre que
. Usando que o ângulo entre
e
é
, calcule
, e escreva o resultado na forma
. Identifique
e a excentricidade
em termos das constantes físicas.
(e) Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o Problema de Kepler, que estuda o movimento de uma partícula sob a influência de um potencial central. Aqui, a partícula tem massa
e está sujeita ao potencial
, onde
. Precisamos mostrar que
, calcular
usando o ângulo
entre
e
, e finalmente expressar
na forma
, identificando
e a excentricidade
em termos das constantes físicas envolvidas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto vetorial e propriedades do movimento orbital.
Passo 2
Vamos começar demonstrando que
.
Primeiro, lembramos que o momento angular
é definido como
. O produto vetorial
será:
Usando a identidade do produto vetorial
, temos:
Sabemos que
porque no movimento central o impulso é perpendicular ao raio
. Então:
Agora, calculamos o produto escalar com
:
No entanto, sabemos que
, onde
é o ângulo entre
e
. Para movimento orbital,
, então
, e:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, onde
é um vetor relevante no contexto (possivelmente o vetor de Laplace-Runge-Lenz, mas a questão não especifica). Sabemos que o ângulo entre
e
é
, então podemos usar a definição do produto escalar:
Vamos assumir que
seja uma constante
, então:
Passo 4
Queremos expressar
na forma
. Para isso, rearranjamos a equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
:
Mas precisamos relacionar isso com
, então podemos reorganizar a expressão para isolar
:
Comparando com a forma desejada
, vemos que há uma inversão. Portanto, ajustamos a equação para alinhar com a forma correta:
Passo 5
Agora, vamos identificar
e a excentricidade
em termos das constantes físicas do problema. A constante
está relacionada com a energia e o momento angular do sistema. A excentricidade
descreve a forma da órbita, sendo
para uma órbita circular e
para órbitas elípticas.
A partir das equações de movimento e conservação de energia angular, podemos relacionar
e
com as constantes
,
e
:
e
onde
é a energia total do sistema.
Resposta
A relação
foi demonstrada, e a expressão para
na forma
foi obtida com
e a excentricidade
.