Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja m a massa de uma partícula sujeita ao potencial central V(r)=-k / r, com k>0, e p=m dotr seu momento linear.
(e) Mostre que r cdot(p times l)=l^2. Usando que o ângulo entre r e A é theta, calcule A cdot r, e escreva o resultado na forma (1 / r)=alpha(1+e cos theta). Identifique alpha e a excentricidade e em termos das constantes físicas.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o Problema de Kepler, que estuda o movimento de uma partícula sob a influência de um potencial central. Aqui, a partícula tem massa e está sujeita ao potencial , onde . Precisamos mostrar que , calcular usando o ângulo entre e , e finalmente expressar na forma , identificando e a excentricidade em termos das constantes físicas envolvidas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores, produto vetorial e propriedades do movimento orbital.

Passo 2

Vamos começar demonstrando que p times l = p times (r times p) .
Primeiro, lembramos que o momento angular p times (r times p) = r (p cdot p) - p (p cdot r) é definido como p times (r times p) = r p^2 . O produto vetorial r cdot (p times l) = r cdot (r p^2) = p^2 r^2 será:
l = r p
Usando a identidade do produto vetorial r cdot (p times l) = p^2 r^2 = l^2 , temos:
Sabemos que porque no movimento central o impulso é perpendicular ao raio . Então:
Agora, calculamos o produto escalar com :
No entanto, sabemos que , onde é o ângulo entre e . Para movimento orbital, , então , e:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular A cdot r = |A| |r| cos theta , onde A cdot r = A r cos theta é um vetor relevante no contexto (possivelmente o vetor de Laplace-Runge-Lenz, mas a questão não especifica). Sabemos que o ângulo entre e é , então podemos usar a definição do produto escalar:
Vamos assumir que seja uma constante , então:

Passo 4

Queremos expressar A r cos theta = A cdot r na forma cos theta = A cdot rA r . Para isso, rearranjamos a equação anterior:
1r = alpha1 + e cos theta
Dividindo ambos os lados por 1r = alpha (1 + e cos theta) :
Mas precisamos relacionar isso com , então podemos reorganizar a expressão para isolar :
Comparando com a forma desejada , vemos que há uma inversão. Portanto, ajustamos a equação para alinhar com a forma correta:

Passo 5

Agora, vamos identificar alpha = kl^2 e a excentricidade e = raiz1 + 2 E l^2m k^2 em termos das constantes físicas do problema. A constante está relacionada com a energia e o momento angular do sistema. A excentricidade descreve a forma da órbita, sendo para uma órbita circular e para órbitas elípticas.
A partir das equações de movimento e conservação de energia angular, podemos relacionar e com as constantes , e :
e
onde é a energia total do sistema.

Resposta

A relação foi demonstrada, e a expressão para na forma foi obtida com e a excentricidade .

Exercícios relacionados