Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja
a massa de uma partícula sujeita ao potencial central
seu momento linear.
(d) Mostre que o vetor de Runge-Lenz
é uma constante de movimento, e está contido no plano da órbita.
(d) Mostre que o vetor de Runge-Lenz
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa
que se move sob a influência de um potencial central
, onde
. O objetivo é mostrar que o vetor de Runge-Lenz
é uma constante de movimento e que ele está contido no plano da órbita. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Clássica, como leis de conservação e propriedades de vetores em movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser uma constante de movimento. Isso quer dizer que sua derivada em relação ao tempo é zero, ou seja,
. Para verificar isso, vamos calcular a derivada de cada termo que compõe
.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada temporal de
. Sabemos que:
Então, usando a regra do produto para derivadas, temos:
Mas, como
é o momento angular e em um potencial central
(a torque é zero), a segunda parte se anula. Restando:
Passo 4
Sabemos que a força
é a derivada do momento linear:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada da segunda parte de
, que é
:
Sabemos que
, e
. Substituindo:
Passo 6
Agora, juntando as duas derivadas que calculamos:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
. Então:
Substituindo de volta:
Passo 8
Distribuindo os termos:
Observamos que os termos
e
se cancelam se considerarmos as potências de
.
Passo 9
Fazendo a conta:
Portanto,
, o que significa que
é uma constante de movimento.
Passo 10
Agora, vamos mostrar que
está contido no plano da órbita. Sabemos que tanto o momento angular
quanto o vetor posição
estão no plano da órbita. O produto vetorial
também estará nesse plano, pois envolve vetores confinados ao plano. Além disso, o termo
está na direção de
, que está no plano da órbita. Portanto, a combinação linear desses vetores, que forma
, também estará no plano da órbita.
Resposta
O vetor de Runge-Lenz
é uma constante de movimento e está contido no plano da órbita.