Nesta questão iremos revisitar o Problema de Kepler. Seja m a massa de uma partícula sujeita ao potencial central V(r)=-k / r, com k>0, e p=m dotr seu momento linear.
(d) Mostre que o vetor de Runge-Lenz
A=p times l-m kr r
é uma constante de movimento, e está contido no plano da órbita.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula com massa A = p times l - m kr r que se move sob a influência de um potencial central , onde . O objetivo é mostrar que o vetor de Runge-Lenz
é uma constante de movimento e que ele está contido no plano da órbita. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Mecânica Clássica, como leis de conservação e propriedades de vetores em movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser uma constante de movimento. Isso quer dizer que sua derivada em relação ao tempo é zero, ou seja, . Para verificar isso, vamos calcular a derivada de cada termo que compõe .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada temporal de l = r times p . Sabemos que:
ddt (p times l) = dpdt times l + p times dldt
Então, usando a regra do produto para derivadas, temos:
ddt (p times l) = dpdt times l
Mas, como é o momento angular e em um potencial central (a torque é zero), a segunda parte se anula. Restando:

Passo 4

Sabemos que a força F = dpdt = -nabla V(r) = -( -kr^2 ) r = kr^2 r é a derivada do momento linear:
dpdt = kr^2 r
Portanto:
ddt (p times l) = kr^2 r times l
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada da segunda parte de ddt ( -m kr r ) = -m k ( ddt ( 1r ) r + 1r drdt ) , que é ddt ( -m kr r ) = -m k ( -r cdot vr^3 r + vr ) = m k r cdot vr^3 r - m kr v :
Sabemos que , e . Substituindo:

Passo 6

Agora, juntando as duas derivadas que calculamos:
dAdt = ddt (p times l) - ddt ( m kr r ) = kr^2 r times l - ( m k r cdot vr^3 r - m kr v )

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que r times l = r times (m r times v) = m (r (r cdot v) - v) . Então:
dAdt = kr^2 cdot m (r (r cdot v) - v) - ( m k r cdot vr^3 r - m kr v )
Substituindo de volta:

Passo 8

Distribuindo os termos:
dAdt = m kr^2 r (r cdot v) - m kr^2 v - m k r cdot vr^3 r + m kr v
Observamos que os termos e se cancelam se considerarmos as potências de .

Passo 9

Fazendo a conta:
dAdt = m kr^2 r (r cdot v) - m k r cdot vr^3 r = m k (r cdot v)r^3 r - m k (r cdot v)r^3 r = 0
Portanto, , o que significa que é uma constante de movimento.

Passo 10

Agora, vamos mostrar que está contido no plano da órbita. Sabemos que tanto o momento angular quanto o vetor posição estão no plano da órbita. O produto vetorial também estará nesse plano, pois envolve vetores confinados ao plano. Além disso, o termo está na direção de , que está no plano da órbita. Portanto, a combinação linear desses vetores, que forma , também estará no plano da órbita.

Resposta

O vetor de Runge-Lenz é uma constante de movimento e está contido no plano da órbita.

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