Se ao final de um dia a hora marcada por este relógio estiver errada por no máximo um minuto, qual deve ser a precisão do comprimento do pêndulo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um relógio de pêndulo que, ao final de um dia, pode estar errado por no máximo um minuto. Nossa missão é descobrir quão preciso precisa ser o comprimento do pêndulo para garantir que essa precisão seja mantida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao movimento harmônico simples do pêndulo e como pequenas variações no comprimento afetam o período de oscilação.

Passo 2

Primeiro, precisamos recordar que o período T = 2pi raizLg de um pêndulo simples é dado pela fórmula:
onde:
  • é o período (tempo de uma oscilação completa),
  • é o comprimento do pêndulo,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).

Passo 3

Sabemos que a frequência de oscilação do pêndulo determina o funcionamento do relógio. Se o período muda um pouquinho, isso afetará o tempo total medido no dia. Queremos que, após 24 horas, o relógio não esteja errado mais que um minuto.

Passo 4

Vamos calcular quantas oscilações o pêndulo faz em um dia. Primeiro, convertendo 24 horas para segundos:
24 , horas = 24 times 60 times 60 = 86.400 , segundos
Se a precisão do relógio deve ser de no máximo 1 minuto ( 6086.400 approx 0,0694% (ou 6,94 times 10^-4 ) segundos), isso significa que a diferença percentual máxima permitida no período do pêndulo é:

Passo 5

Agora, vamos relacionar a variação no período com a variação no comprimento. Derivando a fórmula do período em relação a dTT = 12 dLL :
Isso significa que a variação relativa no período é metade da variação relativa no comprimento.

Passo 6

Como a variação relativa no período deve ser no máximo dLL = 2 times dTT = 2 times 6,94 times 10^-4 = 1,388 times 10^-3 , podemos encontrar a variação relativa no comprimento:
Ou seja, a variação no comprimento não pode exceder aproximadamente .

Passo 7

Para expressar isso de forma mais clara, a precisão do comprimento do pêndulo deve ser de, no máximo, cerca de . Isso garante que, após um dia, o relógio não acumule um erro maior que um minuto.

Resposta

A precisão necessária do comprimento do pêndulo deve ser de aproximadamente 0,14% para que, ao final de um dia, o relógio não esteja errado por mais de um minuto.

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