Se ao final de um dia a hora marcada por este relógio estiver errada por no máximo um minuto, qual deve ser a precisão do comprimento do pêndulo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um relógio de pêndulo que, ao final de um dia, pode estar errado por no máximo um minuto. Nossa missão é descobrir quão preciso precisa ser o comprimento do pêndulo para garantir que essa precisão seja mantida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados ao movimento harmônico simples do pêndulo e como pequenas variações no comprimento afetam o período de oscilação.
Passo 2
Primeiro, precisamos recordar que o período
de um pêndulo simples é dado pela fórmula:
onde:
-
é o período (tempo de uma oscilação completa), -
é o comprimento do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Passo 3
Sabemos que a frequência de oscilação do pêndulo determina o funcionamento do relógio. Se o período muda um pouquinho, isso afetará o tempo total medido no dia. Queremos que, após 24 horas, o relógio não esteja errado mais que um minuto.
Passo 4
Vamos calcular quantas oscilações o pêndulo faz em um dia. Primeiro, convertendo 24 horas para segundos:
Se a precisão do relógio deve ser de no máximo 1 minuto (
segundos), isso significa que a diferença percentual máxima permitida no período do pêndulo é:
Passo 5
Agora, vamos relacionar a variação no período com a variação no comprimento. Derivando a fórmula do período em relação a
:
Isso significa que a variação relativa no período é metade da variação relativa no comprimento.
Passo 6
Como a variação relativa no período deve ser no máximo
, podemos encontrar a variação relativa no comprimento:
Ou seja, a variação no comprimento não pode exceder aproximadamente
.
Passo 7
Para expressar isso de forma mais clara, a precisão do comprimento do pêndulo deve ser de, no máximo, cerca de
. Isso garante que, após um dia, o relógio não acumule um erro maior que um minuto.
Resposta
A precisão necessária do comprimento do pêndulo deve ser de aproximadamente 0,14% para que, ao final de um dia, o relógio não esteja errado por mais de um minuto.