Os dois grupos de vetores e são chamados de recíprocos se e qualquer outro produto escalar misturado como . Mostre que: onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores recíprocos. A ideia é mostrar como alguns vetores podem ser expressos usando produtos vetoriais e um valor chamado . Para resolver isso, vamos precisar entender produto escalar, produto vetorial e produto misto de vetores. Vamos desvendar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto escalar. É uma operação que pega dois vetores e retorna um número. No caso dos vetores recíprocos, temos que:
E todos os produtos mistos são zero, como:
Isso significa que cada vetor de um grupo é perpendicular aos vetores do outro grupo, exceto quando são do mesmo tipo (a com a’, b com b’, etc.).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto vetorial. Quando pegamos dois vetores e fazemos o produto vetorial, obtemos um terceiro vetor que é perpendicular aos dois primeiros. Além disso, a magnitude desse produto vetorial está relacionada com o volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
No exercício, queremos expressar, por exemplo, em termos de .
Passo 4
O próximo conceito importante é o produto misto, que é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois. É dado por:
Esse valor nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , , e .
Passo 5
Vamos agora mostrar como pode ser expressa usando o produto vetorial de e dividido por . Sabemos que:
Isso garante que o produto escalar de com ou seja zero, respeitando a condição dos vetores recíprocos.
Passo 6
De forma similar, podemos expressar os outros vetores recíprocos:
Essas expressões garantem que os produtos escalares mistos são zero e que cada vetor recíproco tem um produto escalar próprio igual a 1.