Os dois grupos de vetores a, b, c e a^prime, b^prime, c são chamados de recíprocos se a cdot a= b cdot b^prime=c cdot c^prime=1 e qualquer outro produto escalar misturado como a cdot b^prime=0. Mostre que:
c=(a times b) / Q, a^prime=(b times c) / Q, b^prime=(c times a) / Q onde Q=a cdot(b times c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores recíprocos. A ideia é mostrar como alguns vetores podem ser expressos usando produtos vetoriais e um valor chamado Q. Para resolver isso, vamos precisar entender produto escalar, produto vetorial e produto misto de vetores. Vamos desvendar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto escalar. É uma operação que pega dois vetores e retorna um número. No caso dos vetores recíprocos, temos que:
a cdot a = b cdot b^prime = c cdot c^prime = 1
E todos os produtos mistos são zero, como:
a cdot b^prime = 0
Isso significa que cada vetor de um grupo é perpendicular aos vetores do outro grupo, exceto quando são do mesmo tipo (a com a’, b com b’, etc.).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto vetorial. Quando pegamos dois vetores e fazemos o produto vetorial, obtemos um terceiro vetor que é perpendicular aos dois primeiros. Além disso, a magnitude desse produto vetorial está relacionada com o volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
No exercício, queremos expressar, por exemplo, c em termos de a times b.

Passo 4

O próximo conceito importante é o produto misto, que é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois. É dado por:
Q = a cdot (b times c)
Esse valor Q nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b, e c.

Passo 5

Vamos agora mostrar como c pode ser expressa usando o produto vetorial de a e b dividido por Q. Sabemos que:
c = a times bQ
Isso garante que o produto escalar de c com a ou b seja zero, respeitando a condição dos vetores recíprocos.

Passo 6

De forma similar, podemos expressar os outros vetores recíprocos:
a^prime = b times cQ
b^prime = c times aQ
Essas expressões garantem que os produtos escalares mistos são zero e que cada vetor recíproco tem um produto escalar próprio igual a 1.

Resposta

As relações dos vetores recíprocos são dadas por:
c = a times bQ, a^prime = b times cQ, b^prime = c times aQ
onde Q = a cdot (b times c).

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