Os dois grupos de vetores e são chamados de recíprocos se e qualquer outro produto escalar misturado como . Mostre que:
onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores recíprocos. A ideia é mostrar como alguns vetores podem ser expressos usando produtos vetoriais e um valor chamado . Para resolver isso, vamos precisar entender produto escalar, produto vetorial e produto misto de vetores. Vamos desvendar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um produto escalar. É uma operação que pega dois vetores e retorna um número. No caso dos vetores recíprocos, temos que:
E todos os produtos mistos são zero, como:
Isso significa que cada vetor de um grupo é perpendicular aos vetores do outro grupo, exceto quando são do mesmo tipo (a com a’, b com b’, etc.).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto vetorial. Quando pegamos dois vetores e fazemos o produto vetorial, obtemos um terceiro vetor que é perpendicular aos dois primeiros. Além disso, a magnitude desse produto vetorial está relacionada com o volume do paralelepípedo formado pelos vetores.
No exercício, queremos expressar, por exemplo, em termos de .

Passo 4

O próximo conceito importante é o produto misto, que é o produto escalar de um vetor com o produto vetorial de outros dois. É dado por:
Esse valor nos dá o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , , e .

Passo 5

Vamos agora mostrar como pode ser expressa usando o produto vetorial de e dividido por . Sabemos que:
Isso garante que o produto escalar de com ou seja zero, respeitando a condição dos vetores recíprocos.

Passo 6

De forma similar, podemos expressar os outros vetores recíprocos:
Essas expressões garantem que os produtos escalares mistos são zero e que cada vetor recíproco tem um produto escalar próprio igual a 1.

Resposta

As relações dos vetores recíprocos são dadas por:
onde .

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Mostre que o módulo de um vetor não é alterado por uma rotação. Use a matriz
para uma rotação de um ângulo em torno do eixo .
Encontre um conjunto de vetores que sejam recíprocos ao conjunto e .
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