Uma partícula se move num círculo de raio b. Se a velocidade escalar da partícula varia com o tempo de acordo com a equação v=A t^2 para que valor, ou valores de t o vetor aceleração forma um ângulo de 45^circ com o vetor velocidade?

Passo 1

Vamos lá! Temos uma partícula se movendo em um círculo de raio com a velocidade escalar variando no tempo segundo a equação . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de o vetor aceleração forma um ângulo de com o vetor velocidade. Vamos precisar usar conceitos de movimento circular, aceleração tangencial e centrípeta, além de como calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em um movimento circular, a aceleração total da partícula tem duas componentes: a aceleração tangencial ( ) e a aceleração centrípeta ( ). A aceleração tangencial está relacionada à variação da velocidade ao longo do caminho, enquanto a aceleração centrípeta está relacionada à mudança na direção da velocidade.

Passo 3

A equação da velocidade é at = dvdt = ddt(A t^2) = 2A t . A aceleração tangencial ( ) é a derivada da velocidade em relação ao tempo:

Passo 4

A aceleração centrípeta ( ac = v^2b = (A t^2)^2b = A^2 t^4b ) é dada por:

Passo 5

A aceleração total ( tan(theta) = acat ) é a combinação vetorial de tan(45^circ) = 1 = acat e ac = at . O ângulo entre a aceleração total e a velocidade pode ser encontrado usando a tangente do ângulo:
Queremos que , então:
Portanto:

Passo 6

Substituindo as expressões de A^2 t^4b = 2A t e A t^3b = 2 :
t^3 = 2bA
Simplificando, dividimos ambos os lados por (considerando e ):
Então:

Passo 7

Resolvendo para t = raiz[3]2bA :

Resposta

O valor de t = raiz[3]2bA para o qual o vetor aceleração forma um ângulo de com o vetor velocidade é:

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