Uma partícula se move num círculo de raio
. Se a velocidade escalar da partícula varia com o tempo de acordo com a equação
para que valor, ou valores de
o vetor aceleração forma um ângulo de
com o vetor velocidade?
Passo 1
Vamos lá! Temos uma partícula se movendo em um círculo de raio
com a velocidade escalar variando no tempo segundo a equação
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
o vetor aceleração forma um ângulo de
com o vetor velocidade. Vamos precisar usar conceitos de movimento circular, aceleração tangencial e centrípeta, além de como calcular o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em um movimento circular, a aceleração total da partícula tem duas componentes: a aceleração tangencial (
) e a aceleração centrípeta (
). A aceleração tangencial está relacionada à variação da velocidade ao longo do caminho, enquanto a aceleração centrípeta está relacionada à mudança na direção da velocidade.
Passo 3
A equação da velocidade é
. A aceleração tangencial (
) é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Passo 4
A aceleração centrípeta (
) é dada por:
Passo 5
A aceleração total (
) é a combinação vetorial de
e
. O ângulo
entre a aceleração total e a velocidade pode ser encontrado usando a tangente do ângulo:
Queremos que
, então:
Portanto:
Passo 6
Substituindo as expressões de
e
:
Simplificando, dividimos ambos os lados por
(considerando
e
):
Então:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
para o qual o vetor aceleração forma um ângulo de
com o vetor velocidade é: